Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 35
НАСКОЛЬКО ВЕЛИКА СПИРАЛЬ?
Спирали представляют собой класс объектов, которые ставят под сомнение традиционный способ измерения длины. Спиралями интересовались математики всех времен. Так, Архимед написал трактат о спиралях и открыл особый тип спиралей, который был назван в его честь. Архимедова спираль подобна поперечному сечению свернутого ковра, то есть расстояние между ее витками всегда остается постоянным. Спираль Архимеда описывается следующей формулой: r = qφ, где r — координата точки спирали, которая зависит от угла φ поворота центральной оси против часовой стрелки (в радианах), a q — константа, которая при умножении на 2π дает расстояние между последовательными витками спирали. Еще одним видом спирали является логарифмическая, представленная на рисунке ниже:
Для этой спирали произведение константы q на угол φ дает не r, а логарифм r. Швейцарский математик Якоб Бернулли был настолько впечатлен подобием всей спирали и любой ее части (то есть самоподобием), что повелел написать на своем надгробии такие слова: Eadem Mutata Resurgo, что в переводе означает «измененная, я вновь воскресаю». Точнее говоря, свойство, которым восхищался Бернулли, заключается в том, что сжатие или растяжение этой спирали равносильно ее повороту на определенный угол.
Рассмотрим любопытный пример двух многоугольных спиралей, подобных тем, что показаны на рисунке выше. Справа изображена бесконечная спираль. В ней каждая сторона относится к предыдущей как 1/q. Сумма длин всех сторон равна сумме ряда 1 + 1/q + 1/q>2 + 1/q>3 +…, равной q/(q — 1). Следовательно, эта спираль имеет конечную длину. Например, если мы выберем q = 1,05, сумма (то есть длина всех сторон) будет равняться 21.
Спираль слева построена по иному, но тоже очень простому правилу: большая сторона спирали равна 1, следующая — 1/2, следующая — 1/3, затем 1/4 и так далее. Известно, что этот ряд не сходится, то есть спираль на рисунке слева имеет бесконечную длину, а спираль на рисунке справа — конечную длину. Можно ли было предположить что-то подобное?
* * *
На основе графиков Ричардсон попытался выяснить причину столь заметных различий, которые могут достигать 20 %. Его объяснение столь же удивительно, сколь и очевидно: единица измерения, используемая одной страной, может быть намного меньше, чем единица измерения, применяемая в другой стране. В чем же заключались эксперименты Ричардсона? Допустим, мы фиксируем раствор циркуля, равный 10 см. Затем мы с помощью циркуля по карте измеряем протяженность береговой линии, непрерывно отсчитывая ее длину. Полученное значение является лишь приближенным, так как береговая линия на карте имеет выпуклости и вогнутости размерами меньше 10 см. Затем уменьшим раствор циркуля и установим его равным 1 см, после чего повторим измерения. Очевидно, что в этот раз результат измерений будет больше, так как ломаная линия, прочерченная циркулем, будет точнее соответствовать береговой линии. Здравый смысл подсказывает, что эти значения сходятся к некоторому конечному числу, которое и будет истинной длиной побережья или границы. Однако Ричардсон показал, что результат измерений будет бесконечно возрастать по мере уменьшения единицы измерения и увеличения масштаба карты. Этот удивительный факт известен под названием «эффект Ричардсона».
