Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 63

Давайте посмотрим, что происходит с площадью. Предположим, что исходный треугольник имеет площадь А = 1.

Разобьем его на треугольники, сторона которых в три раза меньше исходной, то есть получим девять маленьких треугольников. Еще три треугольника были добавлены после первого шага, их общая площадь составляет 1/3 от первоначальной площади. Таким образом, мы имеем:

A_>1 = 1 + 1/3 = 4/3

Вокруг каждого маленького треугольника Т_>2 мы добавляем четыре еще более маленьких треугольника при следующем шаге, Т_>3, что составляет 4/9 площади трех треугольников Т_>2, которая, как мы видели, равняется трети от общей площади А_>1. Таким образом, при втором шаге мы добавили (4/9)∙(1/3).

Рассуждая аналогичным образом, мы видим, что при каждом из следующих шагов мы добавляем 4/9 от площади, добавленной при предыдущем шаге, так что наша общая площадь выражается так:

A = 1 + 1/3 + (4/9)∙(1/3) + (4/9)^>2∙1/3 + (4/9)^>3∙1/3 +…

Упростим это выражение. Вынесем общий множитель за скобки, а к выражению в скобках применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

A = 1 + (1/3)∙(1 + 4/9 + (4/9)^>2 +(4/9)^>3 +…) = 1 + (1/3)∙(1/(1 — (4/9)) = 1 + (1/3)∙(9/5) = 8/5 = 1,6.

Таким образом, после бесконечного числа шагов у нас получится кривая бесконечной длины, однако эта кривая ограничивает площадь, которая всего лишь в 1,6 раза больше площади исходного треугольника.

Размерность «снежинки» больше 1 и меньше 2. Давайте вспомним наш первый шаг: мы перешли от отрезка длины 3 к отрезку длины 4. Если бы мы остались на прямой, ее размерность была бы равна 1, потому что 3^>1 = 3. Если бы мы построили квадрат со стороной 3, он бы имел площадь 9, потому что 3^>2 = 9, и размерность 2. При переходе к длине 4 размерность является числом d, таким, что 3^>d = 4. Чтобы найти d, мы используем логарифмы.

d = log 4/log 3 = ~ 1,2619

Как мы видим, размерность является дробным числом. Вот почему Мандельброт использовал латинское слово fractus.

Существует другой вариант этой кривой, который нам очень знаком: антиснежинка Коха. Она строится аналогично снежинке, только при каждом шаге треугольники добавляются внутри исходного треугольника. Эта антиснежинка используется в качестве логотипа японской марки автомобилей.

Но фракталы представляют собой нечто большее, чем забавный математический парадокс: сама природа имеет фрактальную структуру. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на деревья: рост ветвей можно с поразительной точностью смоделировать с помощью фракталов. Существует много фрактальных моделей деревьев, где из каждого сучка под определенным углом растут ветви, длина которых равняется длине предыдущей ветки, умноженной на коэффициент