Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 39

* * *

Конечно, за первый ход первый игрок не может взять всю кучку. Во время каждого следующего хода игроки могут брать, сколько захотят, соблюдая следующие правила игры:

• за каждый ход игрок должен брать по крайней мере одну фишку;

• каждый игрок не может брать более, чем удвоенное количество фишек, взятых его противником в предыдущем ходу. (Если один берет четыре фишки, другой в свою очередь может взять максимум восемь.)

Математический аспект игры заключается в том, что если число N представляет собой число из последовательности Фибоначчи, то второй игрок должен всегда побеждать, если следует правильной стратегии, а если N — любое другое число, то победить должен первый игрок.

Многогранники и золотое сечение

Многогранники — это геометрические тела, каждая грань которых представляет собой многоугольник. Далее подразумевается, что мы всегда рассматриваем выпуклый многогранник — то есть такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Для выпуклого многогранника с числом граней F, числом ребер Е и числом вершин V всегда справедливо соотношение, известное как теорема Эйлера:

F + V = E + 2.

Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками и из каждой вершины выходит одинаковое количество ребер. Без второго условия мы можем получить многогранник с вершинами с тремя и четырьмя ребрами, как на следующем рисунке:

Кристаллы пирита часто имеют форму правильных двенадцатигранников. Опять же, как мы видим, правильные многогранники в изобилии встречаются в природе.

Как ни удивительно, но уже древние греки знали, что хотя существует бесконечное число правильных многоугольников — они могут иметь любое количество сторон — бывает только пять правильных многогранников, так называемых Платоновых тел. Гранями трех из них являются равносторонние треугольники: тетраэдр (четыре грани), октаэдр (восемь граней) и икосаэдр (20 граней). Еще один имеет шесть квадратных граней: куб (или гексаэдр), а пятый, додекаэдр, имеет 12 граней в виде правильных пятиугольников. Все они могут быть вписаны в сферу, касаясь ее всеми вершинами.

В Древней Греции каждое из этих тел связывали с одной из природных стихий. Куб представляет землю, тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — воду, а додекаэдр был символом космоса, всей Вселенной. Платон писал: «Боги использовали [додекаэдр], чтобы вплести созвездия в небо».

Большой интерес древних греков, особенно пифагорейцев, к многогранникам, без сомнения, объясняется изучением кристаллических минералов, широко распространенных в Средиземноморье, в том числе эффектных кристаллов пирита, часто имеющих форму додекаэдра.