Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 37

Еще одна проблема заключается в нахождении мозаичных плиток для апериодической мозаики. В течение очень долгого времени математики пытались решить эту проблему, но в результате были найдены лишь узоры, содержащие огромное количество составных элементов. В 1971 г. американский математик Рафаэль Митчел Робинсон разработал дизайн, в котором используются плитки только шести видов, полученных путем добавления выемок и выступов к квадрату.

В 1973 г. физику и математику сэру Роджеру Пенроузу (род. в 1931 г.) удалось уменьшить количество плиток до четырех. Год спустя он свел количество к двум. С плитками двух простых типов Пенроуз смог построить апериодическую мозаику. Эти два типа получили названия «воздушный змей» и «дротик». На рисунке это фигуры ABED и BCDE. Вместе они образуют ромб со стороной 1 и углами 72° и 108°. Присутствие Ф вполне закономерно, как и можно было бы ожидать с такими величинами углов.

«Воздушный змей» (заштрихованный) состоит из двух «золотых» треугольников, совмещенных по одной из их равных сторон. Таким образом, длины двух больших сторон равны 1, а двух меньших — Ф — 1 = 1/Ф. Три угла по 72°, а четвертый — 144°. «Дротик» образован двумя «золотыми» гномонами, совмещенными по их меньшей стороне. Это четырехсторонняя вогнутая фигура с формой, дополняющей форму «воздушного змея». Она имеет два угла по 36°, один в 72° и один в 216° (который больше, чем развернутый угол в 180°).

Очевидно, что мы можем построить периодические мозаики с помощью этих двух плиток, если образуем из них ромб. Если мы не хотим повторяющихся узоров, существует другой способ. Обозначим каждую из вершин (например, буквой) и примем условие, что только вершины с одной и той же буквой могут совпадать, когда плитки касаются друг друга.

В каждой «мозаике Пенроуза» отношение числа плиток двух типов стремится к золотому сечению. Казалось бы, нам потребуется больше «дротиков», чем «воздушных змеев», но на самом деле наоборот. «Воздушных змеев» потребуется в Ф раз больше, чем «дротиков».

Пенроуз разработал еще один набор плиток, состоящий из двух ромбов, где первый образован двумя «золотыми» треугольниками, а второй — двумя «золотыми» гномонами.

Для построения апериодической мозаики мы должны как-то пометить стороны или вершины этих двух ромбов. В готовой мозаике каждый тип ромбов встречается в соотношении Ф, широкие плитки чаще, чем узкие.

Игры с использованием пятиконечной звезды и золотого сечения