Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 28
Чтобы вычислить форматное отношение этого прямоугольника, мы должны выразить длину стороны L правильного восьмиугольника через радиус R описанной вокруг него окружности. Тогда мы получим:
R/L = 1/√(2 — √2) =~ 1,307
Это так называемое сечение Кордовы, или число Кордовы.
Спирали и золотое сечение
Но самым удивительным образом Ф проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть «золотой» прямоугольник, от которого мы отсекаем квадраты, получая все меньшие «золотые» прямоугольники по уже знакомой нам процедуре.
Затем мы проведем четверть дуги окружности в каждом из отсекаемых квадратов. Радиус каждой из окружностей равен длине стороны квадрата, а центром является вершина, общая со следующим «золотым» прямоугольником. Это будут точки 1, 2, 3, 4, 5…
Таким образом мы получим линию, называемую логарифмической спиралью.
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ И СПИРАЛИ
Спираль и ее свойства вызывали интерес у многих выдающихся математиков. Якоб Бернулли (1654–1705) был особенно очарован спиралями, которым он посвятил многие годы исследований. Это его увлечение привело к тому, что он даже завещал выгравировать спираль на его могиле, вместе с надписью Eadem mutato resurgo, что означает «Изменяясь, я воскресаю неизменным». Однако несмотря на строгие инструкции, гравер не смог воспроизвести логарифмическую спираль, а изобразил серию дуг, к которым слова Бернулли неприменимы.
Спираль является такой кривой линией, форма которой не меняется при изменении размера. Это свойство называется самоподобием.
Другим важным свойством спирали является равноугольность: если провести прямую линию от центра спирали, точки ее возникновения, к любой другой точке, углы пересечений с кривой всегда будут одинаковыми. Поэтому, если мы хотим наблюдать точку под постоянным углом, мы должны двигаться вокруг нее по траектории, которая является логарифмической спиралью. Она также известна как геометрическая спираль, так как длина радиус-вектора — отрезка, соединяющего центр с точкой на спирали — увеличивается в геометрической прогрессии, в то время как угол, образованный радиус-вектором, увеличивается в арифметической прогрессии.
Строго говоря, кривая, которую мы только что построили в наших «золотых» прямоугольниках, не является спиралью, так как она образована дугами разных окружностей, соединенных между собой искусственно, но она приближена к логарифмической спирали. Спираль не касается четвертинок окружностей, а пересекает их, пусть и под очень малым углом. Настоящая логарифмическая спираль выглядит следующим образом:
