Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 29
Если мы будем выполнять те же построения, но добавим изменения по высоте, то получим трехмерную спираль, как показано на следующем рисунке:
Свойства спирали привлекали не только ученых, но и художников.
Работа нидерландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972), известного своими нереальными мирами, изображенными на картинах и мозаиках. Многие его работы основаны на математике. Эшер часто рисовал спираль, как это можно видеть на гравюре 1953 г., озаглавленной просто: «Спирали».
Мы еще не исчерпали все возможности спирали. По правде говоря, мы только начали знакомство с ней. Позже мы найдем ее в «золотых» треугольниках, а также во многих красивых природных объектах.
Глава 3
Золотое сечение и пятиугольник
Ассирийцы рисовали пятиугольники самым обычным образом: раздвинув пальцы кисти руки и оставляя отпечатки пальцев на глине. Затем эти точки соединялись отрезками. Такие изображения часто встречаются на глиняных табличках. Однако построение пятиугольников было серьезной задачей для древних греков. По их мнению, единственным точным методом построения геометрических фигур было использование циркуля и линейки, но этих инструментов оказалось недостаточно, чтобы начертить правильный пятиугольник.
Правильный пятиугольник
Использование циркуля и линейки для геометрических построений, как это делали еще древние греки, является очень ограниченным методом. И некоторые ограничения представляются довольно причудливыми. Метод включает в себя рисование точек, прямых (или их отрезков) и частей окружности (или дуг) с использованием лишь циркуля и линейки неопределенной длины, без делений на ней. С помощью этих инструментов можно разделить отрезок пополам (провести перпендикуляр через его середину), построить биссектрису угла, найти точку, симметричную данной относительно другой, провести параллельную прямую или перпендикуляр в данной точке, а также найти проекцию точки на прямую линию. Также можно разделить любой отрезок на заданное число равных частей.
Однако существует ряд классических задач, известных тем, что они не могут быть решены лишь с помощью линейки и циркуля. Например, квадратура круга (построение квадрата с той же площадью, что и у данного круга), удвоение куба (построение куба, который имеет в два раза больший объем, чем данный куб с известной стороной) или деление угла на три равные части. Кроме того, невозможно построить некоторые правильные многоугольники, используя только циркуль и линейку, например, семиугольник и пятиугольник.
