Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 27

В самом деле, 1/(√2/2) = 2/√2 = √2. Гномоном прямоугольника с отношением √2 является тоже прямоугольник с отношением √2.

Этот процесс можно повторять бесчисленное количество раз, получая новые прямоугольники с отношением √2. Тот же самый итог выходит в результате удвоения меньшей стороны прямоугольника с отношением √2: мы снова получим прямоугольник с отношением √2. На следующем рисунке показан результат различных итераций.

Это свойство прямоугольника с отношением √2 используется при выборе размеров бумаги для европейских канцелярских принадлежностей: так называемый стандарт DIN. Это аббревиатура от Deutsches Institut fur Normung (Германский институт стандартизации), который в 1922 г. ввел этот стандарт, разработанный инженером Вальтером Порстманом.

Размеры начинаются с самого крупного АО, представляющего собой прямоугольник с отношением √2 площадью один квадратный метр. Каждый следующий размер обозначается номерами (A1, А2, А3, А4…) и имеет форму прямоугольника с отношением √2. Лист бумаги каждого следующего размера получается простым делением пополам.

В терминах вписанных многоугольников ширина прямоугольника с отношением √2 является радиусом окружности, а длина — стороной квадрата, вписанного в нее. Например, если радиус равен единице, то длина стороны вписанного квадрата равна √2. Фундаменты зданий часто имеют форму прямоугольника с отношением √2.

Серебряный прямоугольник

Серебряный прямоугольник, или серебряное сечение, получается при добавлении к прямоугольнику с отношением √2 квадрата со стороной 1. Такой прямоугольник имеет форматное отношение (1 + √2), которое, как мы видели в предыдущей главе, является решением уравнения х^>2 - 2х - 1 = 0 и называется серебряным сечением. Прямоугольник, полученный таким способом, более вытянут, чем исходный, так что объекты, в которых он используется, такие как врата храмов и поэтажные планы зданий, выглядят более изящными.

Прямоугольник Кордовы

Одним из главных памятников мавританской архитектуры в испанском городе Кордова (Cordoba) является знаменитая мечеть Мескита с восьмиугольным михрабом (молитвенной нишей). Испанский архитектор Рафаэль де Ла-Ос (1924–2000), изучая ее пропорции, обнаружил особый прямоугольник, который объясняет красоту ее формы. Де Ла-Ос описал эту пропорцию как отношение сторон прямоугольника, длина которого равна радиусу окружности, а ширина — длине стороны правильного восьмиугольника, вписанного в эту окружность. Он получил название прямоугольника Кордовы и выглядит более низкорослым, чем «золотой» прямоугольник.