Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 26
Если мы впишем в окружность правильный десятиугольник (многоугольник с десятью равными сторонами, углы которого также равны), отношение между радиусом и стороной многоугольника будет точно Ф.
Следовательно, мы можем сказать, что длина «золотого» прямоугольника является радиусом окружности, а ширина равна стороне правильного десятиугольника, вписанного в эту окружность. В третьей главе мы подробно рассмотрим это соотношение.
ПРАВИЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все углы равны. Лишь одного из этих условий недостаточно. Ромб, например, имеет равные стороны, но его углы не равны, поэтому он не является правильным многоугольником. Из всех четырехсторонних многоугольников только квадрат является правильным. Прямоугольник имеет четыре равных угла по 90°, но стороны разной длины, поэтому он также не является правильным многоугольником.
Многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Если это правильный многоугольник с n сторонами, мы можем построить равнобедренный треугольник, соединив центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника. Две равные стороны треугольника будут радиусами окружности. Третья сторона треугольника имеет ту же длину, что и у сторон многоугольника. Неравный угол треугольника (также называемый центральным углом) равен (360/n)°.
Другие замечательные прямоугольники
Как мы видели на странице 51, прямоугольники телеэкранов (4:3 и 16:9) замечательны тем, что часто встречаются в нашей повседневной жизни. Теперь рассмотрим другие прямоугольники, с которыми мы сталкиваемся каждый день, и сравним их с «золотыми» прямоугольниками, чтобы еще раз подчеркнуть уникальность прямоугольников с форматным отношением Ф.
Прямоугольник с отношением √2
Построим квадрат ABCD со стороной 1. Затем проведем дугу окружности с центром в одной из вершин квадрата (в этом примере в точке А) и радиусом, равным расстоянию между этой вершиной и противоположной (АС). Дуга пересекает продолжение отрезка АВ в точке Е. Длина отрезка АЕ, будучи равной длине диагонали квадрата 1x1, равна √2, и, следовательно, прямоугольник, который мы построили, имеет стороны 1 и √2. Далее мы будем называть прямоугольники этого типа прямоугольниками с отношением √2 (так как отношение между сторонами √2 и 1 равно √2).
Характерным свойством прямоугольников с отношением √2 является следующий факт. Если мы разделим большую сторону прямоугольника пополам, мы получим еще один прямоугольник с отношением √2, по площади в два раза меньший. Стороны нового прямоугольника имеют длины 1 и √2/2, и отношение этих длин снова равно √2.