Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 25

Теперь наша задача будет гораздо проще. Для построения «золотого» прямоугольника мы используем все свойства, о которых говорилось выше.

Начнем с квадрата АВCD, чья сторона будет шириной «золотого» прямоугольника, который мы будем строить. Отметим точку М — середину стороны АВ. Проведем дугу окружности с центром в точке М и радиусом МС (расстояние от М до одной из противоположных вершин). Эта дуга пересекается с продолжением отрезка АВ. Обозначим это пересечение точкой Е. Тогда длина отрезка АЕ является длиной искомого «золотого» прямоугольника. Нам осталось только провести перпендикуляр из точки E, который пересекает продолжение отрезка DC в точке F. Таким образом, мы построили «золотой» прямоугольник AEFD.

Давайте найдем длины сторон «золотого» прямоугольника, который мы построили, чтобы проверить «золотое» сечение. Предположим, что АВ = AD = 1, тогда АЕ = AM + ME = 1/2 + ME. Так как ME равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника MBС, по теореме Пифагора мы имеем:

ME^>2 = МС^>2 = MB^>2 + ВС^>2 = (1/2)^>2 + 1^>2 = 1/4 + 1 = 5/4.

Откуда

ME = √(5/4) = (√5)/2.

Следовательно:

AE = (1/2) + (√5)/2 = (1 + √5)/2 = Ф.

Это значит, что стороны прямоугольника AEFD равны 1 и Ф.То есть наш прямоугольник действительно является «золотым».

Свойства «золотого» прямоугольника

Если отрезать от нашего «золотого» прямоугольника квадрат, то останется прямоугольник BEFC, который также является «золотым». Проведя диагонали в двух «золотых» прямоугольниках, мы увидим, что они всегда пересекаются под прямым углом. Это справедливо как для пары AF и СE, так и для пары DE и BF (диагонали в каждой паре перпендикулярны друг к другу).

Мы видим это на следующих рисунках:

Если мы продолжим отрезать квадраты от каждого следующего «золотого» прямоугольника и каждый раз будем проводить диагонали, как на рисунке выше, мы увидим, что все получившиеся диагонали будут лежать на одной из пересекающихся под прямым углом диагоналей. Таким образом, они всегда будут перпендикулярны, а точка их пересечения всегда будет одной и той же точкой О.

Если бы мы могли использовать микроскоп, чтобы увидеть все прямоугольники, которые могут быть образованы путем удаления квадратов, мы бы заметили, что точка пересечения их диагоналей всегда одна и та же, хотя мы уменьшаем размер прямоугольника в Ф раз. Это невероятное свойство характерно для «золотого» прямоугольника. Точка О является своего рода геометрической черной дырой, точкой притяжения, куда уходит бесконечная последовательность «золотых» прямоугольников.