Как мы видели, последовательность Фибоначчи позволяет найти приближенное значение числа Ф с любой точностью, вычисляя отношения ее членов. Однако последовательность имеет гораздо больше применений, чем предсказание роста численности популяции кроликов, и она неожиданно появляется в работах других математических гениев. Давайте рассмотрим некоторые из замечательных свойств последовательности Фибоначчи.
Сумма членов последовательности Фибоначчи
Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Например, общая сумма первых 10 членов равна:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = 11∙13.
То же самое справедливо и для:
21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 4 147 = 11∙377.
Но это еще не все. Каждая сумма равна числу И, умноженному на седьмой член взятой подпоследовательности: 13 в первом случае и 377 во втором.
А вот еще один сюрприз. Для любого n сумма первых n членов последовательности всегда будет равна разности (n + 2)-го и первого члена последовательности. Мы видим это в случае первых десяти членов, сумма которых равна 143. Это и есть разность двенадцатого члена (144) и первого (1). В случае первых 17 членов общая сумма составляет 4180, что равно девятнадцатому члену а>19 (4181) минус 1.
Этот факт выражается следующей формулой:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>n = а>n+2 — 1.
Мы можем использовать этот факт для нахождения суммы любого количества последовательных членов, что для непосвященных выглядит как магия. Например, выберем любые два числа, скажем, 25 и 40, и подставим их в нашу формулу вместо n:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>40 = а>42 — 1.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>25 = а>27 — 1.
Чтобы посчитать сумму всех членов между а>25 и а>40 (от а>26 до а>40 включительно), мы просто найдем разность между этими двумя выражениями:
a>26 + … + a>40 = a>42 — a>27.
Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов последовательности между двумя данными членами (не включая первый, но включая второй член), достаточно найти разность соответствующих (n + 2)-х членов.
МАРИО МЕРЦ (1925–2003)
Итальянский художник Марио Мерц, один из самых выдающихся представителей направления «арте повера», неоднократно использовал последовательность Фибоначчи во многих своих работах 1970-х гг., применяя целый ряд различных материалов (неоновые огни, ветки, шкуры животных, газеты). Так как числа Фибоначчи стремятся к бесконечности, потому что каждый следующий член равен сумме двух предыдущих, Мерц использовал это свойство знаменитой последовательности в качестве символа прогресса искусства и общества. Каждый шаг цивилизации — это сумма прошлых событий, в результате чего прошлое является неотъемлемой и важной частью будущего. Аналогично, современное искусство представляет собой сумму предшествующих искусств, ничто не может быть создано из ничего.
