Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 15
Ф>3 = 2Ф +1
Ф>4 = 3Ф + 2
Ф>5 = 5Ф + 3
ф>6 = 8Ф + 5
Ф>7 = 13Ф + 8
Ф>8 = 21Ф + 13
Если мы обратим внимание на коэффициенты в правых частях этих выражений, то увидим, что они являются последовательными членами последовательности Фибоначчи. Мы используем это для выражения n-й степени золотого сечения, где а>n является n-м членом последовательности Фибоначчи:
Ф>n = а>n∙Ф + а>n-1
Теперь рассмотрим некоторые другие связи между этими двумя понятиями. Воспользуемся калькулятором, чтобы найти отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи: а>n/а>n-1. Первые несколько результатов имеют мало общего с Ф, но мы продолжим вычисления. Что мы видим? Ответы вдруг начинают приближаться к значению Ф. В следующей таблице видно, что, начиная с десятого члена, каждое частное отличается от предыдущего менее чем на 0,001.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Мы говорим, что число А является пределом последовательности {а>n}, если члены последовательности сходятся к А — то есть для достаточно большого номера n все следующие члены последовательности а>n приближаются к одному и тому же числу.
Например, последовательность {1/n} имеет предел 0.
(Дробь 1/n с ростом n все более приближается к 0.)
Последовательность {2n/(n+1)} имеет предел 2. Однако не все последовательности имеют пределы.
Таким образом, для нахождения приближенного значения Ф нет необходимости извлекать квадратные корни, достаточно просто делить друг на друга члены последовательности Фибоначчи.
Как всегда в случае с золотым сечением, все эти доказательства указывают на определенный общий результат: предел отношений членов последовательности Фибоначчи равен Ф.
Докажем это. Допустим сначала, что предел отношений членов последовательности Фибоначчи, а именно предел последовательности а>n+1/а>n равен некоторому числу L. Запишем это следующим образом:
(Напомним, что а>n+1 = a>n + a>n-1.)
Число L описывается тем же уравнением, что и Ф, поэтому L и Ф должны иметь одинаковое значение. Таким образом, золотое сечение является пределом последовательности отношений чисел Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи начинается с двух единиц. Если вместо этого мы начнем последовательность с любых других равных чисел и построим остальные члены по тому же правилу (каждое число является суммой двух предыдущих), то предел отношений членов такой последовательности всегда будет равен Ф. Заметим, что в приведенном выше доказательстве мы использовали только это условие:
а>n+1 = a>n + a>n-1
Удивительные числа
