Темная сторона материи. Дирак. Антивещество | страница 37

В чем же заключался смысл уравнения Клейна — Гордона, и почему оно было неприемлемо для Дирака? Чтобы понять это, нам надо вернуться в начало 1926 года, когда Шрёдингер занимался волновой механикой. Как и Дирак, австрийский физик осознавал важность включения релятивистской теории в свою работу. На самом деле полученное им первое волновое квантовое уравнение учитывало релятивистские эффекты и не противоречило классическому релятивистскому выражению для энергии. Однако Шрёдингер решил не публиковать это уравнение, поскольку заметил, что оно не ведет к постоянной тонкой структуры.

Эта постоянная, полученная Зоммерфельдом в 1915 году с помощью атомной теории Бора, прекрасно выражала энергетические уровни атома водорода. Таким образом, она представляла собой главный «тест» для любой квантовой теории. В марте 1926 года Шрёдингер опубликовал свое новое уравнение — то самое, которое сегодня носит его имя. Оно не только учитывало постоянную Зоммерфельда, но и полностью изменило облик квантовой механики; со временем оно стало, наряду с принципом эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, самым знаменитым физическим уравнением. Однако уравнение Шрёдингера не включает в себя теорию относительности — оно согласовывается с классическими формулировками механики Ньютона.

В релятивистской механике масса зависит от инерциальной системы отсчета. Обозначим собственную массу частицы, то есть массу частицы в ее собственной инерциальной системе отсчета, как m. Представим, что эта частица перемещается со скоростью ṽ. Для простоты допустим, что речь идет о свободной частице — не взаимодействующей с другими телами. В этой ситуации общая энергия и кинетический момент выражаются уравнениями

в которые вводится фактор Лоренца γ, описанный в главе 1. Соединяя выражения энергии и момента, получаем следующее уравнение:

Для частиц в состоянии покоя общая энергия равна Е=mc^>2, а для частиц без массы (таких, как фотон) энергия задана как Е=ср. Можно вывести волновое квантовое уравнение через предыдущее выражение энергии, заменив классические переменные соответствующими квантовыми операторами (принцип соответствия):

Используя данный принцип, получаем в итоге следующее релятивистское квантовое уравнение:

Это и есть уравнение Клейна — Гордона, которое обычно записывается в более точном виде с использованием оператора Д’Аламбера:

Предыдущее выражение называется «ковариантной формой» уравнения КГ. Оператор остается неизменным при преобразованиях Лоренца, и отсюда следует, что волновая функция ф(ṽ,t) не должна зависеть от инерциальной системы отсчета.