На рубеже XIX и XX столетий Давид Гильберт, перечисляя важнейшие с его точки зрения задачи математики будущего, поставил проблему континуума на первое место.
Однако все колоссальные усилия математиков, направленные на ее решение, не принесли ничего реального вплоть до 1940 года, когда выяснилось, что проблема континуума теснейшим образом связана с другим важнейшим положением теории множеств, так называемой аксиомой выбора.
Как и в основе многих других математических теорий, в фундаменте теории множеств лежит система аксиом, исходных положений, из которых путем логических заключений выводятся все остальные положения.
Система аксиом должна быть непротиворечивой — логические выводы, полученные на ее основе, не должны вступать в противоречия друг с другом. Это одно из фундаментальных требований к исходным положениям любой научной теории, так как из противоречивых утверждений можно вывести все что угодно.
Ведь если два утверждения противоречат друг другу — одно из них неизбежно является ложным. Показательна в этом смысле своеобразная теорема, которую приводит математик Хаусдорф в качестве подстрочного примечания в своей знаменитой книге «Теория множеств»:
«Если дважды два равно пяти — то существуют ведьмы…»
Итак — непротиворечивость. Но, как уже было сказано, система исходных положений канторовской теории множеств этому требованию, к сожалению, не удовлетворяет — их логическое развитие приводит к неустранимым парадоксам.
И многие математики как раз и видят выход из третьего великого кризиса в том, чтобы построить такую аксиоматику теории множеств, которая «давала бы все, что нужно, и ничего лишнего», то есть не приводила бы к парадоксам.
Попыток предпринималось немало. В настоящее время наибольшим признанием пользуется система аксиом Цермелло — Френкеля.
С парадоксами она пытается расправиться путем введения специальных «ограничительных» аксиом, попросту запрещающих существование таких множеств, которые приводят к неразрешимым противоречиям.
Удастся ли таким путем до конца преодолеть все трудности, покажет будущее. Сейчас нас интересует другое. В системе аксиом Цермелло — Френкеля есть несколько аксиом, непосредственно связанных с бесконечностью. Одна из них, например, постулирует ее существование. Другая — «аксиома выбора», аксиома, которая подобно вопросу о непрерывности имеет самое непосредственное отношение к нашим представлениям о физике Вселенной.
Как известно, обычные натуральные числа характеризуют не только количество, но и порядок. Пятый значит пятый по счету, то есть следующий за четвертым и предшествующий шестому.
