Трансфинитные числа, введенные Кантором, устанавливают аналогичный порядок в мире бесконечностей. Кантор предполагал, что с помощью трансфинитных чисел можно перенумеровать любое бесконечное множество и тем самым упорядочить его подобно множеству натуральных чисел.
В том и заключается главный смысл теории множеств, что она превратила математическую бесконечность из чего-то неясного и расплывчатого, находящегося «по ту сторону» от обычных объектов, с которыми мы можем оперировать, в нечто доступное измерению и численному выражению, построила аппарат для исчисления бесконечностей. В дальнейшем предположение Кантора о возможности упорядочения любого множества было строго доказано исходя из аксиомы, предложенной Цермелло и получившей впоследствии название аксиомы выбора.
Для человека, мало знакомого с математикой, эта аксиома прозвучит, должно быть, несколько странно.
Предположим, что у нас имеется бесконечное множество непересекающихся, то есть не имеющих общих элементов бесконечных множеств. Тогда, утверждает аксиома выбора, можно построить по меньшей мере одно множество, которое содержит по одному и только одному элементу из каждого нашего множества.
На первый взгляд, такое утверждение представляется довольно тривиальным. В самом деле, если в школе есть, скажем, десять шестых классов и в каждом из них по 30–40 человек, то нет абсолютно ничего сложного в том, чтобы составить множество, и далеко не единственное, в которое войдет по одному представителю из каждого класса.
Да, действительно, для конечных множеств все получается очень просто. В сущности, в этом случае аксиома выбора — уже не аксиома, ее можно совершенно строго доказать.
Но вот, можно ли ее автоматически обобщить на случай бесконечных множеств, далеко не очевидно. Этот вопрос не мог не волновать математиков, хотя бы уже потому, что из аксиомы выбора непосредственно следует справедливость предположения Кантора об отсутствии промежуточных мощностей между счетным множеством и континуумом.
Вопрос стоял так; противоречит или не противоречит аксиома выбора другим исходным аксиомам теории множеств? После многолетних усилий ряда ученых в 1938–1948 гг. Курт Гёдель наконец нашел ответ на этот вопрос: аксиома выбора независима от других аксиом теории множеств и не вступает с ними в противоречие. А это означало, что континуум-гипотезу Кантора нельзя опровергнуть.
Но тем самым сложилась ситуация, весьма напоминающая знаменитую историю с пятым постулатом Эвклида и чреватая далеко идущими последствиями.
