Вопрос стоит так: если имеются две сколь угодно близкие точки, можно ли поместить между ними еще одну? И то же самое для моментов времени.
— Мы даже не можем по-настоящему представить себе, каков был бы мир, например, со «щелями» во времени! — говорит академик Наан. — И все-таки подобную возможность нельзя считать заранее исключенной.
Одним словом, непрерывность — одно из тех математических понятий, которые играют важнейшую роль в построении современной физической картины мира.
Даже частичный отказ от постулата непрерывности повел бы не только к принципиальным изменениям наших физических представлений о Вселенной, но и к весьма существенным последствиям философского характера. Ведь с этим постулатом самым тесным образом связаны такие фундаментальные понятия, как причинность, познаваемость всех частей мира и многие другие.
Если пространство и время дискретны, то есть состоят из отдельных обособленных точек или моментов, разделенных непроходимыми щелями, то их общее число во Вселенной хотя и может быть бесконечным, но эта бесконечность не более чем счетная. Эти точки или моменты можно, в принципе, перенумеровать с помощью чисел натурального ряда.
Если же пространство и время непрерывны, то уже на любом отрезке длины или интервале времени мы встретимся с множеством более высокой мощности, чем счетная, — множеством мощности континуума.
Еще Георг Кантор сформулировал проблему, которая представляет не только чисто математический, но и глубокий физический интерес: насколько велика пропасть, разделяющая эти две бесконечности — счетную и континуальную?
Эта проблема возникает совершенно естественным образом. В самом деле, ведь между двумя любыми соседними числами натурального ряда, скажем, между единицей и двойкой располагается бесконечное множество точек числовой прямой — действительных чисел. Таким образом, континуальная бесконечность бесконечно богаче счетной или, иначе говоря, бесконечен скачок от счетного множества к континууму. Поэтому вполне логично задаться вопросом о существовании промежуточных бесконечностей.
Сам Кантор считал, что бесконечных множеств с промежуточной мощностью не существует. Это утверждение, получившее название проблемы континуума, он пытался доказать на протяжении многих лет, исходя из основных положений теории множеств, но безуспешно.
Проблема континуума — одна из тех знаменитых математических задач, которые, однажды возникнув, на протяжении многих десятилетий оставались неразрешенными, волнуя умы множества ученых.
