5a. Электричество и магнетизм | страница 5

В качестве первого примера рассмотрим систему с цилинд­рической симметрией. Пусть у нас имеется длинная-длинная равномерно заряженная спица. Под этим мы понимаем элект­рические заряды, равномерно распределенные по длине беско­нечно длинной прямой, так что на единицу длины приходится заряд l,. Мы хотим определить электрическое поле. Конечно, задачу можно решить интегрированием вкладов в поле от всех частей прямой. Но мы собираемся решить ее без интегрирова­ния, только с помощью закона Гаусса и некоторых догадок. Во-первых, легко догадаться, что электрическое поле будет направлено по радиусу. Любой осевой составляющей от зарядов, лежащих с одной стороны от некоторой плоскости, должна отве­чать такая же осевая составляющая от зарядов, лежащих с дру­гой стороны. В итоге должно остаться только радиальное поле. Кроме того, резонно полагать, что во всех точках, равноот­стоящих от прямой, поле имеет одинаковую величину. Это очевидно.

Фиг. 5.5. Цилиндрическая гауссо­ва поверхность, коаксиальная за­ряженной прямой.

1 — гауссова поверхность; 2 — заря­женная прямая.

(Может быть, это нелегко доказать, но это верно, если пространство симметрично, а мы считаем, что это так.) Применить закон Гаусса можно следующим образом. Вооб­разим себе поверхность, имеющую форму цилиндра, ось ко­торого совпадает с нашей прямой (фиг. 5.5). Согласно закону Гаусса, весь поток Е из этой поверхности равен заряду внутри нее, деленному на e_>0. Раз поле считается нормальным к поверх­ности, то его нормальная составляющая — это величина векто­ра поля. Обозначим ее Е. Пусть радиус цилиндра будет r, а длина его для удобства выбрана равной единице. Поток сквозь цилиндрическую поверхность равен произведению Е на площадь поверхности, т. е. на 2pr. Поток через торцы равен нулю, потому что поле касательно к ним. Весь заряд внутри нашей поверх­ности равен как раз l, потому что длина оси цилиндра равна единице. Тогда закон Гаусса дает

(5.2)

Электрическое поле заряженной прямой обратно пропорцио­нально первой степени расстояния от прямой.

§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей

В качестве другого примера рассчитаем поле однородно заряженного плоского листа. Предположим, что лист имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен а. Сразу приходит в голову следующее соображение: из симмет­рии следует, что поле направлено всюду поперек плоскости, и если не существует поля от всех прочих зарядов в мире,