6. Электродинамика | страница 65

Итак, идея наша заключается в том, что мы подставляем x(t)=x(t)+- h(t) в формулу для действия

где через V(x) обозначена потенциальная энергия. Производная dx/dt — это, естественно, производная от x(t) плюс производ­ная от h(t), так что для действия я получаю такое выражение:

Теперь это нужно расписать подетальней. Для квадратич­ного слагаемого я получу

Но постойте-ка! Ведь мне не нужно заботиться о порядках выше первого. Я могу убрать все слагаемые, в которых есть h^>2 и высшие степени, и ссыпать их в ящик под названием «второй и высшие порядки». Из этого выражения туда попадет только одна вторая степень, но из чего-то другого могут войти и выс­шие. Итак, часть, связанная с кинетической энергией, такова:

Дальше нам нужен потенциал V в точках x+h. Я считаю т) малой и могу разложить V(x) в ряд Тэйлора. Приближенно это будет V(x); в следующем приближении (из-за того, что здесь стоят обычные производные) поправка равна h, умноженной на скорость изменения V по отношению к x; и т. д.:

Для экономии места я обозначил через V производную F по х. Слагаемое с h^>2 и все, стоящие за ним, попадают в категорию «второй и высшие порядки». И о них больше нечего беспо­коиться. Объединим все, что осталось:

Если мы теперь внимательно взглянем на это, то увидим, что два первых написанных здесь члена отвечают тому действию S, которое я написал бы для искомого истинного пути х. Я хочу сосредоточить ваше внимание на изменении S, т. е. на разности между S и тем S, которое получилось бы для истинного пути. Эту разность мы будем записывать как dS и назовем ее вариа­цией S. Отбрасывая «второй и высшие порядки», получаем для dS

Теперь задача выглядит так. Вот передо мной некоторый интеграл. Я не знаю еще, каково это х, но я твердо знаю, что, какую h я ни возьму, этот интеграл должен быть равен нулю. «Ну что ж,— подумаете вы,— единственная возможность для этого — это чтобы множитель при h был равен нулю». Но как быть с первым слагаемым, где есть dh/dt? Вы скажете: «Если h обращается в ничто, то и ее производная такое же ничто; зна­чит, коэффициент при dh/dt должен тоже быть нулем». Ну это не совсем верно. Это не совсем верно потому, что между откло­нением h и его производной имеется связь; они не полностью независимы, потому что h (t) должно быть нулем и при t_>tи при t_>2.

При решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдви­гаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сдела­ли мы, добавляя h), бросаете взгляд на члены первого порядка,