8a. Квантовая механика I | страница 32
Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнитное поле направлено по z, и знаем еще энергии стационарных состояний.
А теперь пусть поле не направлено по z. Каков теперь гамильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по z? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля налагаются одно на другое, то члены гамильтониана просто складываются: если нам известно H>ijдля поля, состоящего из одной только компоненты B>z, и известно Н>ijдля одной только В>х, то H>ij для поля с компонентами B>z, B>xполучится простым сложением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении z: если удвоить B>z, то удвоятся и все Н>ij. Итак, давайте допустим, что Н линейно по полю В. Чтобы найти H>ijдля какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.
Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось z в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями ±mB. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы ±mB, т. е.
Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен гамильтониан, линейный по В>х, В>yи B>z, который даст именно такие энергии, если применить нашу общую формулу (8.3). Задача — найти гамильтониан. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть нуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется
Н>22=-H>11.
(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при В>x=В>y=0; в этом случае Н>11=-mB>zи H>22=mB>z.) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится
(Мы использовали также тот факт, что Н>21=Н*>1>2, так что H>12H>21 может быть записано в виде |Н>12|>2.) Опять в частном случае поля в направлении z это даст
откуда | H>12| в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H>12не может войти член с В>z. (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по В>х, В>yи B>z.)
Итак, пока мы узнали, что в Н>11и H>22 входят члены с В>z, а в H>12 и H>21 — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав
H>11=-mВ>z,
H>22=mB>z
и
Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!
«Погодите,— скажете вы,— H>12 по В не линейно. Из (8.21) следует, что H>12=mЦ(
