Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 48
Модель нейронной сети.
Наконец, представим синапсы между афферентными и эфферентными нейронами в виде матрицы М. Назовем ее матрицей памяти. Каждый элемент с этой матрицы обозначает связь между входным, или афферентным, нейроном i и выходным, или эфферентным, нейроном j. Учитывая вышесказанное, модель нейронной сети можно сформулировать с помощью матричной алгебры. Имеем:
Если нейробиолог, используя эту модель, захочет узнать ответ эфферентного нейрона № 2, зная все остальные значения, ему достаточно будет вычислить:
y>2 = С>21Х>1+ С>22Х>2 + … + C>2jX>i
А если нужно определить выходное значение для первого эфферентного нейрона?
В этом случае достаточно вычислить y>1 = С>11Х>1+ С>12Х>2 + … + C>1jX>i
Пусть дана нейронная сеть с тремя входными, или афферентными нейронами, и тремя выходными, или эфферентными нейронами. Матрица связей, или синапсов, между нейронами М приведена ниже:
Если к слою входных нейронов поступает извне следующий сигнал:
каким будет выходное значение для первого эфферентного нейрона? В соответствии с описанной моделью имеем:
Искомое выходное значение равно у>1 = 0,2·1 + 0,6·0 + 0,8·1, и, как следствие, у>1 = 1.
Сегодня этот класс математических моделей используется для распознавания образов — букв, чисел, фотографий и т. д. в системах искусственного интеллекта.
Транспонирование матриц
Еще одна привычная операция над матрицами называется транспонированием. Для того чтобы получить транспонированную матрицу А' для матрицы А, достаточно поменять строки исходной матрицы на столбцы. Пусть дана матрица А:
транспонированная матрица А' будет выглядеть так:
Транспонированная матрица определяется мгновенно. В самом деле, если мы транспонируем транспонированную матрицу, то есть найдем (А>t)>t, то вновь получим матрицу А. Покажем, где применяется эта операция.
Предположим, что ученый работает с моделью, в которой определена квадратная матрица, то есть матрица с равным числом строк и столбцов. В этом случае существует особое число, соответствующее матрице, которое указывает на некоторые ее любопытные свойства. Это число называется определителем матрицы. Рассмотрим простейший случай — матрицу 2 x 2 (две строки и два столбца), элементы которой обозначим через а, Ь, с и d:
Определитель матрицы А будет равен:
Значение определителя будет равно а·d — b·с. Иными словами, нужно найти произведение элементов на главной диагонали и вычесть из него произведение элементов на побочной диагонали. Определитель матрицы
