Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 47

Пусть на каждом участке посеяно 80 семян. Обозначим всхожесть на первом, втором, третьем и четвертом участках через а_>11, а_>12, а_>21 и а_>22 Число семян, взошедших на каждом участке, будет равно:

Умножение матриц очень часто используется в математической биологии и других дисциплинах. Чтобы матрицы А и В можно было умножить друг на друга, число столбцов n матрицы А должно быть равно числу строк n матрицы В. Произведением матриц А и В будет матрица С, имеющая m строк и р столбцов. Будем использовать обозначения, которые обычно применяются в математической литературе, и проиллюстрируем операцию умножения матриц.

Пусть даны две матрицы А и В:

Их произведением будет матрица С:

Элемент с_>ij матрицы С в общем виде задается следующим выражением:

а_>i1b_>1j = а_>i2b_>2j +… + а_>inb_>nj

Таким образом, чтобы вычислить элемент с, нужно взять элементы а_>11, а_>12…, Ь_>11, b_>21… и найти значение выражения а_>11Ь_>11 + а_>12Ь_>21 + … + а_>1nЬ_>n1.

Проще всего продемонстрировать вычисление произведения матриц на примере

Пусть даны матрицы А и В:

Найдем их произведение A·В, выполнив следующие действия:

Получим матрицу:

Важно учесть, что сумма матриц А + В не изменится, если мы поменяем слагаемые местами (следовательно, операция сложения матриц является коммутативной), в то время как произведение матриц не обладает этим свойством: произведение матриц A·В не равно произведению В·А. С учетом этого одним из самых интересных действий является умножение матрицы А на матрицу В, состоящую из одного столбца, то есть умножение А_{>m x n} · В_{>n x 1}. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.

Чтобы показать, как применяется произведение матрицы на вектор, представим, что нейробиолог составляет модель нейронной сети. В этой сети группа нейронов (обозначены кругами), которые мы будем называть афферентными, или чувствительными, получает импульсы из внешнего мира, к примеру посредством органов чувств. Афферентные нейроны отправляют сигналы другим нейронам, которые называются эфферентными, или двигательными, через соединения, или синапсы. Задача эфферентных нейронов — отправить ответ на некоторый входной сигнал, поступивший к афферентным нейронам. Этот ответ поступает к мышцам, железам и т. д. Обозначим входной сигнал, поступающий к афферентным нейронам, вектором u^>->. Элементами вектор-столбца х_>1, х_>2, …, х_>i. будут, к примеру, характеристики некоторого объекта. Обозначим через y