Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 46

* * *

Соотношение между элементами представимо с помощью графа. К примеру, элементы нейронной сети или клеточного метаболизма могут быть представлены узлами, связанными между собой дугами. Таким образом, можно сопоставить матрицу графу, как мы показали в примере с витамином А.

С помощью матрицы можно представить экспериментальные данные, системы уравнений и графы. И по-настоящему важно, что над матрицами мы можем выполнять различные действия. С середины XIX века известны правила операций над «данными, расположенными в строках и столбцах», к примеру, сложение и умножение матриц. С того времени была создана матричная алгебра, составляющая основу многих количественных методов математической биологии и других дисциплин. К примеру, изучение динамических систем в экологии или физиологии, анализ и решение многочисленных задач генетики, как правило, проводятся с помощью операций над матрицами.

В этом разделе мы опишем некоторые наиболее частые операции над матрицами, знание которых поможет понять многочисленные способы применения матриц.

Сложение

Это одна из простейших операций над матрицами. Допустим, в эксперименте рассматриваются две матрицы размером 2 x 2, которые мы обозначим А и В:

такие, что

Как будет выглядеть матрица С, равная их сумме, то есть А + В? Матрица С образуется последовательным сложением элементов исходных матриц: с_>11 = а_>11 + Ь_>11, с_>12 = а_>12 + Ь_>12, с_>21 = а_>21 + Ь_>21 и с_>22 = а_>22 + Ь_>22:

Сложение матриц возможно в том случае, если они имеют одинаковый размер. Предположим, что в лаборатории при изучении детородной функции человека используется модель, в которой яйцеклетка или сперматозоид, несущие доминантный ген A, обозначены 1, рецессивный ген а — 0. Если сперматозоид оплодотворяет яйцеклетку, то все возможные эмбрионы для рассматриваемого гена будет описывать следующая сумма матриц:

В этом примере 2, 1 и 0 соответствуют эмбрионам с генами АА, Аа и аа соответственно.

Вычитание

Разность матриц А — В определяется как сумма A + (—1)В. Чтобы найти разность матриц А и В из первого примера:

сначала нужно сменить знак элементов матрицы В:

и сложить полученную матрицу с А. Результат будет искомой разностью:

Умножение

Еще одна простейшая операция над матрицами — это умножение матрицы на число. Пусть k — произвольное число, к примеру константа или даже функция у(х) (математики называют подобные величины скалярными), А — матрица.

Произведение k·А:

равно

Допустим, что на земельном участке со сниженной плодородностью почвы испытываются четыре удобрения с разным соотношением азота, фосфора и калия. После внесения удобрений на четыре разных участка уровень всхожести семян на первом участке составил 5 %, на втором — 15 %, на третьем — 8 %, на четвертом — 27 %.