Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 45
К примеру, х>23 будет обозначать число листьев растения 2 с удобрением 3, х>74 — число листьев растения 7 с удобрением 4. Математики проводили подобные эксперименты с древних времен, используя так называемые латинские квадраты, то есть таблицы или матрицы, в которых символ (число или сочетание нескольких символов) встречается в каждой строке и каждом столбце только один раз. Разновидностью латинского квадрата является популярная сегодня игра судоку.
Слева — пример популярной японской головоломки судоку, справа — латинский квадрат.
Теперь предположим, что мы хотим дать общее определение таблице, использованной в эксперименте с растениями и удобрениями. Можно сказать, что даны m растений и n видов удобрений, и записать представленную выше таблицу в круглых скобках:
Такая форма представления данных называется матрицей. Таким образом, матрица размера m х n — это всего лишь множество из m х n элементов, записанных в m строк и n столбцов. Матрицы обычно обозначаются заглавными буквами — А, В, С и т. д. Они позволяют удобно представлять не только данные, но и системы уравнений. Рассмотрим в качестве примера следующую систему линейных уравнений:
В матричном виде эту систему уравнений можно представить так:
С помощью матриц можно проанализировать также химическую структуру молекулы. К примеру, если мы присвоим произвольные обозначения атомам углерода С в молекуле витамина А, или ретинола, как показано на рисунке
то молекула витамина А будет представлена следующей матрицей.
Обратите внимание, что х>ij = 1, если между атомами i и j существует связь, если же связь между атомами отсутствует, х>ij = 0.
* * *
ПРЕЛЕСТЬ МАТРИЦ — В ИХ РАЗНООБРАЗИИ
Всевозможные обозначения, связанные с матрицами, встречаются очень часто. Разъясним некоторые популярные термины.
Квадратная матрица — это матрица, в которой число строк и столбцов одинаково:
Симметричная матрица — это квадратная матрица, в которой выполняется соотношение х>ij= х>ji:
Единичная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой равны 0, и только элементы главной диагонали равны 1. Единичная матрица обозначается буквой Е.
Диагональная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали:
Нулевая матрица — матрица (необязательно квадратная), все элементы которой равны 0:
Треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные над главной диагональю или под ней, равны 0. Слева представлен пример верхнетреугольной матрицы, справа — нижнетреугольной.
