Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 44

х_>t+1 = aх_>t + by_>t + е,

y_>t+1 = cx_>t + dy_>t + f.

Эксперимент Барнсли заключался в определении трех преобразований.

Для произвольной начальной точки с координатами (х, у) путем жеребьевки определялось число 1, 2 или 3. К примеру, если при броске кубика выпадало 1 или 2 очка, выбиралось преобразование 1, если выпадало 3 или 4 очка — преобразование 2, если выпадало 5 или 6 очков — преобразование 3. С помощью соответствующих уравнений определялись координаты новой точки (х_{>t + 1}, y_{>t + 1}). Далее путем жеребьевки выбиралось новое преобразование, которое применялось к предыдущей точке для определения координат новой точки, и т. д.

Обратите внимание, что в эксперименте, результатом которого является треугольник Серпинского, а и d всегда равны 0,5, b и с — 0. Значения е и f изменяются для каждого преобразования. Другие природные фракталы, например листья растений, ветки папоротника и т. д., можно получить, рассмотрев различные значения а, Ь, с, d, е и f.

Описанная процедура, названная системой итерируемых функций, представляет собой один из наиболее интересных методов построения фракталов на компьютере. Эксперимент привел к удивительному результату: многие биологические формы и структуры являются фракталами. Если, к примеру, мы применим преобразования (повороты, переносы, изменение масштаба) к точкам, представляющим клетки, то получим структуру, которая будет фракталом, изображающим, к примеру, лист растения.

Одна из классических научных задач — наблюдение за природой и проведение экспериментов. Наблюдение явления подразумевает сбор каких-либо данных. В качестве примера приведем изучение загрязнения окружающей среды, в котором как индикаторы используются некоторые виды лишайников, количество мутаций определенной бактерии или вес мышей из одного помета. На этом этапе исследования ученый подсчитывает, например, количество муравьев, проходящих через определенное место за минуту, или число красных кровяных телец. Вместо подсчетов в некоторых случаях могут требоваться измерения, например кислотности среды, веса, роста или любых других показателей, значение которых, по определению измерения, будет содержать несколько десятичных знаков.

Данные, собранные в ходе эксперимента, объединяются в таблицы. Допустим, что в оранжерее на четырех грядках растет по семь растений, при этом на каждую грядку вносится свое удобрение. Чтобы выяснить, дает ли оно положительный эффект, по прошествии определенного времени производится подсчет числа листьев на каждом растении. Обозначим это число через