Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 43



, для которых рассматриваемая орбита точки не будет уходить в бесконечность. Именно это множество значений и стало называться множеством Мандельброта. На множествах Жюлиа, напротив, комплексная константа С имеет фиксированное значение, для которого изучается поведение функции, орбита и значения Z>0, Z>1, Z>2… и т. д. Поскольку компьютер не может работать с комплексными числами, переменная и константа записываются в следующем виде:

ZXiY

С = р + iq,

а функция Z>n+1 = Z>n>2 + С раскладывается на вещественную часть X и мнимую часть Y.

Компьютер позволяет представить точки орбиты на комплексной плоскости, то есть в декартовой системе координат, и изобразить точки, для которых выражение √(x>2 + Y>2) меньше заданного значения и орбита которых не уходит в бесконечность. Эта орбита является границей множества точек, орбиты которых уходят в бесконечность, и это множество называется множеством Жюлиа.


«Игра в хаос» Барнсли

Хаотические системы представляют собой разновидность динамических систем, что доказал преподаватель Технологического института Джорджии Майкл Барнсли, объяснявший теорию хаоса на примере математической игры под названием «Игра в хаос». Барнсли показал любопытную особенность хаотических систем: их беспорядочность была лишь кажущейся, и в конечном итоге в хаотической системе можно было увидеть одну и ту же фигуру. Эта фигура, очевидно, являлась аттрактором, в частности фракталом, однако проявлялась она только на поздних этапах моделирования. Напомним, что аттрактор — это не более чем точка или множество точек, к которым стремится или приближается динамическая система. «Игра в хаос» заключается в графическом представлении точек (х, у), которые описываются следующим матричным выражением:


Изначально расположение полученных точек будет казаться случайным. Но ближе к концу эксперимента, после того как мы изобразим достаточное их количество, всегда будет виден странный аттрактор — треугольник Серпинского.

Идея Барнсли была простой, элегантной и в то же время удивительной. Любая точка, которую мы изобразим в будущем, то есть в момент времени + 1, будет иметь координаты >t + 1, y>t + 1). Они будут рассчитаны на основе координат (x>t, у>t) точки, которую мы изобразим в момент времени t. Обратите внимание, что здесь речь идет об отображении, схожем с логистическим отображением или уравнением Ферхюльста. О том, что такое матрицы и как они применяются в математической биологии, поговорим в следующей главе. Пока лишь укажем, что приведенное выше выражение можно преобразовать в два более привычных и определить координаты новой точки на основе следующих преобразований: