Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 42

Палитра цветов программы Fractint

* * *

Этими свойствами обладают все фракталы, созданные математиками. Иными словами, фракталы, сгенерированные на компьютере, — это идеальные математические объекты, в отличие от неидеальных фракталов конечного размера, созданных природой. И все же красота и сложность фракталов в природе не перестают удивлять нас.

Снежинка (иллюстрация Уилсона Бентли) и соответствующий ей фрактал — снежинка Коха.

Множества Жюлиа и Мандельброта

Французский математик Гастон Жюлиа первым начал исследовать фракталы. Он сделал ряд важных открытий, однако умер в 1978 году, так и не став известным. Отчасти это объяснялось тем, что компьютеры в то время еще не могли изобразить всю красоту и кажущуюся сложность фракталов. Жизнь Жюлиа вообще сложилась непросто: в Первую мировую войну он был ранен в лицо и вынужден был всю жизнь скрывать его часть.

Фрактальное множество Жюлиа.

Рассмотрим функцию вида Z_>n+1 = Z_>n^>2 + С, где Z — переменная, С — константа. Значение левой части этого выражения на итерации n + 1 равно квадрату переменной Z на предыдущей итерации, n, увеличенному на константу С. Само по себе это выражение не представляет особого интереса, если только переменная Z и константа С не являются комплексными числами. Именно этот случай и рассмотрел Жюлиа. Несколько лет спустя Бенуа Мандельброт также изучил этот класс итеративных выражений с помощью компьютера. В некотором роде Мандельброт продолжил исследование фракталов, начатое Гастоном Жюлиа, и внес огромный вклад в их популяризацию. В 1958 году Мандельброт начал работать в исследовательском центре IBM в США, где изучал возможности использования фракталов не только в физике, но и в других дисциплинах: гидродинамике или даже экономике. Именно он в 1975 году ввел термин «фрактал» для обозначения подобных объектов. Изучив множества Жюлиа с помощью компьютера, Мандельброт обнаружил множества, которые теперь носят его имя — множества Мандельброта.

Фрактал Мандельброта.

В 1982 году была опубликована книга Мандельброта под названием «Фрактальная геометрия природы», в которой он объяснил, как природа создает фрактальные формы (к примеру, линии побережий, горы, растения, кровеносные сосуды и легкие). На множествах Мандельброта рассматривается орбита точки 0. Ученый предложил изучить последовательные итерации выражения Z_>n+1 = Z_>n^>2 + С для частного случая Z_>0 = 0. Его идея заключалась в том, чтобы определить, каким в этих условиях будет множество значений