Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 62

Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. Этот термин, введенный Эйлером, происходит от латинского transcendere — «превосходить» и означает, что вычисление таких чисел в некотором роде выходит за рамки привычных математических операций. Доказать трансцендентность числа порой очень и очень непросто. Французский математик Жозеф Лиувилль (1809–1882) доказал существование трансцендентных чисел и открыл метод, позволяющий получить некоторые из них. Первым числом, которое удостоилось чести быть помещенным в список трансцендентных, стало L (число Лиувилля), определение которого слишком сложно, чтобы приводить его здесь. Записывается оно следующим образом:

L = 0,1100010000000000000000010000…

В 1873 году французский математик Шарль Эрмит (1822–1901), ученик Лиувилля, доказал, что е (основание натурального логарифма, приближенное значение которого равно 2,718281828459043235360287471352…) не является алгебраическим числом. Получить это доказательство было непросто — оно не далось самому Эйлеру.

Одно из самых известных чисел в истории математики — это число π («пи»), равное отношению длины окружности к ее диаметру. Доказательство трансцендентности е оказалось столь сложным, что Эрмит не решился взяться за аналогичное доказательство для числа π, о чем написал Карлу Вильгельму Борхардту (1817–1880): «Я не осмелился приступить к доказательству трансцендентности числа π. Если кто-то другой попытается это сделать, не будет человека счастливее меня, но поверьте мне, любезный друг, что это доказательство потребует немалых усилий».

Трансцендентность числа π была доказана Линдеманом лишь несколько лет спустя, в 1882 году. Это открытие стало важной вехой в истории математики, так как означало невозможность решения задачи о квадратуре круга.

Сегодня доказано, что трансцендентными являются числа e, π, e^>π, 2^>√2, sin(1), ln2, ln3/ln2 и некоторые другие, однако до сих пор остается открытым вопрос о трансцендентности таких чисел, как е^>c, π^>π и π^>c.

Шарль Эрмит на фотографии 1887 года. Этот французский математик доказал, что число е не является алгебраическим.

Известно, например, что по меньшей мере одно из двух чисел (возможно, оба сразу) π^>c и π^>+с является трансцендентным, но доказать трансцендентность каждого их них по отдельности до сих пор не удалось. Трансцендентные числа — редкие создания, обнаружить их непросто. Это наводит на мысль о том, что таких чисел немного, но в действительности это совершенно не так: их много, очень много, бесконечно много и даже больше.