Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 63

Бесконечное множество вещественных чисел содержит рациональные числа, которые являются алгебраическими, и иррациональные числа, часть которых является трансцендентными. Однако трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.

Кантор, обнаружив подлинную гениальность (полученные результаты изумили его самого), сформулировал простое доказательство того, что существует бесконечно много трансцендентных чисел. С одной стороны, известно, что множество вещественных чисел не является счетным. С другой стороны, множество алгебраических чисел является счетным. Из этих двух утверждений следует, что существуют числа, которые не являются алгебраическими. Более того, Кантор доказал, что множество этих чисел не является счетным.

Вывод: множество вещественных чисел так велико именно благодаря трансцендентным числам.

Как мы показали в предыдущем разделе, если дано множество А = {а, Ь, с, d}, можно образовать ряд его подмножеств

{а}, {Ь}, {с}, {d}, {а, b), {а, с}, {a, d}, {Ь, с}, {Ь, d}, {с, d}, {а, Ь, с}, {а, Ь, d}, {а, с, d}, {Ь, с, d},

которые будут так называемыми собственными подмножествами А. Кроме них, подмножествами А также являются само множество А и пустое множество, обозначаемое символом 0 и не содержащее никаких элементов. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества, и эти два множества (исходное и пустое) считаются несобственными подмножествами. Добавив к вышеприведенному списку собственных подмножеств эти два множества, мы получим полный перечень всех подмножеств А:

, {а}, {Ь}, {с}, {d}, {а, Ь}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {b, d}, {с, d}, {а, Ь, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {Ь, с, d}, {а, Ь, с, d}, —

итого 16 подмножеств.

Заметим, что 2^>4 = 16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени, равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего n элементов, число его подмножеств будет равно 2^>n.

Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством-степенью A и обозначается 

. Кантор доказал, что для любого множества его множество-степень больше, чем само множество, то есть оно содержит больше элементов, или, если быть математически корректными, его кардинальное число больше, чем у исходного множества. Будем обозначать кардинальное число А как |