Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 61

В действительности дело этим не ограничивается: 

также равно числу точек в произвольном гиперпространстве. Иными словами, если бы мы могли проникать в пространства высших измерений (четырех-, пятимерные пространства и т. д.),  означало бы число точек, содержащихся в этих пространствах.

Вы увидели, что множества  (натуральных чисел),  (целых чисел) и 

(рациональных чисел) содержат одинаковое число элементов (то есть являются равномощными) — бесконечное число, обозначенное Кантором как . Множество вещественных чисел получается, если расширить множество рациональных чисел иррациональными. Возникает вопрос: существует ли столько иррациональных чисел, чтобы общее количество вещественных чисел равнялось ? Ответ на этот вопрос достаточно любопытен и не лишен таинственности. Однако чтобы понять его, сначала следует узнать о так называемых трансцендентных числах.

Уравнение одной переменной х степени п с рациональными коэффициентами — это равенство вида

C_>nx^>n + C_{>n — 1}x^{>n — 1} +… + C_>1x + C_>0 = 0

Тому, кто не знаком с подобными выражениями, оно может показаться сложным, но это не так. В этом контексте уравнение — не более чем равенство, в левой части которого записаны слагаемые с неизвестным х, возведенным в некоторую степень и умноженным на некие числа (коэффициенты), а в правой части записан ноль. Решить уравнение означает найти такое значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, в уравнении

х — 2 = 0

коэффициенты равны 1 и —2, а решением является х = 2.

Иррациональное число, например √2, является результатом решения уравнения вида

х^>2 — 2 = 0.

По определению, число х является алгебраическим, если оно выступает корнем (решением) алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Проясним некоторые понятия, чтобы сделать это определение более понятным. Алгебраическое уравнение представляет собой многочлен, приравненный к нулю, например

Зх^>2 + 5х — 1 = 0,

где 3, 5 и —1 — коэффициенты. Выражение

√3х^>5 - 5х^>2 = 0

также является уравнением, но его первый коэффициент не является целым числом, следовательно, это уравнение нельзя назвать алгебраическим.

Число 3 является алгебраическим, так как оно выступает решением уравнения

х — 3 = 0.

Очевидно, что любое рациональное число является алгебраическим, так как всегда можно записать алгебраическое уравнение, решением которого будет это число.

Как мы уже показали, √2 является решением уравнения х^>2 — 2 = 0, и, следовательно, это также алгебраическое число.