Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 24

Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС, изображенный на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.

Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равенство:

С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Например, в треугольнике

выполняется равенство

Таким образом, длина гипотенузы равна 5.

Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом отсчета в точке О так, что ОС = 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой прямой, проходящий через точку С, такой что длина CD также будет равна 1. Как можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник OCD с гипотенузой OD.

Применив теорему Пифагора, получим

Таким образом,

Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является несоизмеримым.

Это означает, что √2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к строгому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N является рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.

По этому определению, рациональными являются 2/3, 8/5, 2773/12452. Логично, что целые числа также являются рациональными, так как любое целое можно представить в виде частного двух других: например 8 можно представить как 16/2.

В некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида можно встретить доказательство того, что √2 не является рациональным (доказательство, изложенное на языке современной математики, приведено в приложении).

Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, что очень точно характеризует их природу. Однако более серьезная проблема заключается в том, что не только диагонали квадратов, но и соотношения между высотой и стороной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного пятиугольника также выражаются иррациональными числами. Иными словами, мы открыли не единственное иррациональное число, а множество иррациональных чисел. С помощью целых чисел нельзя с точностью измерить размеры фигур, имевших наибольшее значение для пифагорейцев. Можно решительно утверждать, что открытие иррациональных чисел привело к беспрецедентному кризису в истории греческой математики. В школах пифагорейцев, куда не допускались непосвященные, одним из самых тщательно охраняемых секретов было существование иррациональных чисел. По легенде, разглашение этого секрета каралось смертью.