, не имеет смысла: если таким числом является
М, то всегда существует число
(N + M)/2,
идущее перед М.
Плотность отражает понятие бесконечности с непривычной стороны. Приведем пример из геометрии. Когда мы представляем себе прямую, мы считаем, что она продолжается бесконечно с обоих концов. В нашем представлении эта прямая бесконечно велика. Аналогом дробных чисел из предыдущего примера будут точки на отрезке прямой: между двумя точками всегда находится третья, и число точек отрезка также бесконечно велико.
Дискретное и непрерывное
Толковый словарь русского языка дает слову «дискретный» такое определение: «прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей», что схоже с определением дискретной величины в математике: «величина, принимающая конечное число отдельных значений, например число деревьев в лесу, число солдат в армии и пр.».
Как вы увидите чуть позже, упоминание «отдельных частей» отсылает нас к высшим разделам математики, так как нужно очень четко определить значение слова «отдельный», что сделать не так просто, как может показаться.
Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях бесконечности (как бесконечно больших, так и бесконечно малых величин), нужно четко понимать значение понятий «непрерывное» и «дискретное». Рассмотрим разницу между ними на простом примере. Представьте себе два одинаковых сосуда, в одном из которых находится вода, а в другом — небольшие пластиковые шарики. Перельем содержимое первого сосуда в кувшин. Мы увидим, как течет жидкость и как постепенно уровень воды в кувшине поднимается. Если мы будем пересыпать в кувшин шарики, все будет выглядеть и восприниматься совершенно иначе: мы будем видеть, как шарики по одному падают в кувшин. Разница между первым и вторым случаем будет заметна не только на глаз, но и на слух: в первом случае звук будет непрерывным, во втором мы сможем различить звук, издаваемый каждым шариком при падении в кувшин.
В первом случае мы имеем дело с непрерывным процессом, во втором случае — с дискретным.
Рассмотрим другой пример: с 9 утра до 9 вечера время течет непрерывно. Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправляется в 10 утра, а следующий — в 11, то между значениями 10 и И нет никаких других, то есть эти значения дискретны. Напротив, течение времени между 10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например 10 часам 25 минутам и 0,34628761720041244474 секунды.
