Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности | страница 6
Гэрберт Орильякский, избранный папой римским под именем Сильвестра II, был папой-математиком.
* * *
Простые числа называют «кирпичами» в здании математики, «атомами» математики и «генетическим кодом» чисел. Дома строятся из кирпичей, все в природе состоит из атомов, а живые организмы определяются генетическим кодом. Все эти аналогии основаны на общем понятии: первичных элементах, из которых строится вся система. Рассмотрим теперь роль простых чисел в математике.
Как мы увидели, число может быть разложено на делители, или на множители. Так, число 12 можно представить в виде 3 x 4. Напомним, что при разложении на множители имеется в виду, что число 12 производится числами 3 и 4. Но мы также знаем, что число 12 может быть получено и из других чисел, например:
12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3.
Итак, процесс разложения числа на множители называется факторизацией. Напомним, именно этот процесс привел нас к точному определению простого числа, при факторизации которого мы получаем только единицу и само число в качестве множителей. Например, число 13 будет разложено так:
13 = 1 х 13.
Когда один из множителей в произведении повторяется, мы используем надстрочный индекс, равный количеству повторений. Например:
2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 2>5;
З х З х З х З = 3>4.
В математике это называют «степенью». Читается это как 2>5 (два в пятой степени) и З>4 (три в четвертой степени).
В предыдущем примере мы представили число 12 в виде трех произведений с различными множителями: 2 и 6; 3 и 4; 2, 2 и 3. Только последнее из этих произведений содержит лишь простые множители. Рассмотрим другой пример, число 20:
20 = 2 x 10 = 2 x 2 x 5 = 4 x 5.
Только произведение 20 = 2 x 2 x 5 = 2>2 х 5 содержит лишь простые множители.
Перед нами встает следующий вопрос: можно ли любое наугад взятое число всегда разложить на простые множители? Другими словами, может ли оно быть представлено в виде произведения только простых чисел? Ответ на этот вопрос положителен. Более того, любое число можно разложить на простые множители единственным образом. Когда мы записываем число 20 в виде произведения простых множителей, 20 = 2>2 х 5, мы делаем это единственно возможным образом, учитывая, что порядок множителей не имеет существенного значения, то есть разложения 2 х 5 х 2 и 5 х 2 х 2 считаются одинаковыми. Эта теорема была сформулирована Евклидом и известна как «основная теорема арифметики». Она утверждает, что «любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых множителей».