Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности | страница 55

С другой стороны, Гаусс сформулировал гипотезу, что при больших значениях х

где π(х) — число простых чисел, меньших, чем х.

Риман поставил перед собой задачу исследовать гипотезу Гаусса с помощью дзета-функции Эйлера и решил, что наиболее перспективным подходом будет продолжить эту функцию на область простых чисел. Для этого он разработал метод аналитического продолжения. Строго говоря, аналитическое продолжение — более правильное название для дзета-функции Римана:

Вторая часть выражения, бесконечное произведение, распространяется на все простые числа р, используя эйлерово произведение, и таким образом определяет связь дзета-функции с простыми числами. Напомним, что это произведение было получено как прямое следствие основной теоремы арифметики.

Как уже говорилось, Гаусс ввел функции комплексного переменного, представляемые в трехмерном пространстве. Риман сделал следующий шаг и определил то, что позже станет называться комплексными функциями комплексного переменного. Проблема заключалась в том, что они требуют четырехмерного пространства и поэтому не могут быть наглядно представлены. Используя особые приемы, похожие на описанные в предыдущей главе, Риман получил трехмерное изображение нулей дзета-функции: поверхность, состоящую из регулярно повторяющихся холмов и впадин.

У этой функции есть два типа «нулей», то есть таких значений аргумента, которые при подстановке в функцию обращают ее в ноль. Первый тип — четные отрицательных числа: х = —2, х = —4, х = —6 …, называемые «тривиальными» нулями.

Другие нули совсем не тривиальные, и вычислить их очень трудно. Они образуют бесконечное множество и находятся на так называемой «критической полосе» комплексных чисел, действительная часть которых больше нуля, но меньше единицы (0 <= Re(х) <= 1). Эта полоса наиболее тесно связана с простыми числами. В 1896 г. именно этим вопросом занимались два математика, Жак Адамар и Шарль Жан Ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказавшие гипотезу Гаусса о распределении простых чисел.

В одной из записей и без каких-либо доказательств Риман сформулировал утверждение, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют вид 1/2 + iy, то есть они лежат на прямой х = 1/2, которая проходит сквозь дзета-функцию.

«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2».

Если эта гипотеза верна, то все простые числа распределены регулярно, точнее, насколько это возможно регулярно. Поясним это с помощью аналогии: представим себе функцию, характеризующую звуки скрипичного концерта — ряд синусоидальных кривых. Для простоты предположим, что играет только одна скрипка. Вместе с рядом четких подъемов и впадин мы увидим другие неопределенные формы, которые несколько нарушают гармонию кривой линии. В акустических терминах это называется «белый шум», возможными причинами которого являются статические разряды, фоновые звуки и так далее. Таким образом, гипотеза Римана утверждает, что любые отклонения в распределении простых чисел связаны с математическим «белым шумом». Это означает, что распределение простых чисел основано на определенном правиле, а не на чистой случайности. Таким образом Риману удалось навести некоторый порядок в разношерстной компании простых чисел.