Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности | страница 54
Восхождение на двухкилометровую вершину вовсе не то же самое, что восхождение на высоту 4000 метров. С Риманом мы, безусловно, находимся в четырехкилометровой категории.
Георг Фридрих Бернхард Риман родился в деревне Брезеленц, в земле Нижняя Саксония. Возможно, из-за своей крайней застенчивости и почти патологического страха перед публичными выступлениями он не пошел по стопам отца, лютеранского пастора. Фридрих Константин Шмальфусс, директор школы, где учился молодой Риман, разрешил мальчику взять из своей личной коллекции книгу Лежандра по теории чисел — математический трактат чрезвычайной сложности. Риман за неделю прочитал ее от корки до корки и, возвращая книгу, сказал, что нашел ее очень интересной. Он не лгал. Годы спустя Риман возьмет из этой книги то, что ему нужно для создания своей теории простых чисел, сформулировав тем самым одну из самых известных гипотез в истории математики.
В возрасте 19 лет Риман прослушал несколько лекций математика Морица Штерна в Гёттингенском университете. Именно там он впервые познакомился с работами Гаусса. Через год он перешел в Берлинский университет, где преподавали Петер Густав Лежён-Дирихле, Карл Якоби, Якоб Штайнер и Фердинанд Эйзенштейн. Тесное сотрудничество Римана с Эйзенштейном привело к появлению одной из наиболее важных математических теорий XIX в. — теории функций комплексного переменного. Она стала одним из основных инструментов, которые позволили Риману сформулировать свою гипотезу о простых числах.
Бернхард Риман
* * *
ДОКТОРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
«Думаю, эта диссертация откроет для меня новые перспективы. Также я надеюсь научиться писать быстро и свободно, особенно если я чаще буду появляться в [светском] обществе, и у меня будет возможность читать лекции. Так что настрой у меня хороший». Эти слова из письма Римана своему отцу относятся к докторской диссертации, которую он в возрасте 25 лет представил к защите в Гёттингенском университете. Она называлась «Основания теории функций комплексного переменного» и была восторженно принята Гауссом, живой легендой математики того времени.
* * *
Дзета-функция
Как говорилось в третьей главе, Эйлер дал определение дзета-функции с помощью гармонического ряда:
Швейцарский математик уже знал, что данная сумма бесконечна при х, меньших или равных 1. Он также смог вычислить значения для х = 2 и х = 4:
ζ(2) = π>2/6; ζ(4) = π>2/90
Также Эйлер установил связь между этой функцией и простыми числами (так называемое «эйлерово произведение»). Эта связь помогла ему и другим математикам доказать, что множество простых чисел бесконечно, что уже было показано Евклидом с помощью более элементарного метода.
