Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности | страница 18
Как найти закономерность в последовательности чисел? Для этого существует много способов. Важно, чтобы эта закономерность предсказывала появление следующего числа в последовательности. Например, для последовательности
2, 4, 6, 8, …
очевидно, следующее число будет 10.
В случае последовательности
1, 3, 5, 7, …
также легко предсказать, что следующее число — 9. Первый пример представляет собой последовательность четных чисел, а второй — нечетных. Еще один пример:
2, 3, 5, 9, 17….
Здесь каждое число получается умножением предыдущего на 2 и вычитанием из результата единицы.
Выражаясь языком математики, закономерность точно определена, если имеется «общий член» — выражение, позволяющее получить значение каждого члена последовательности, просто подставив значение индекса n. Например, для последовательности четных чисел формула общего члена выглядит так:
а>n= 2n.
Если n = 1, то а>1 = 2 х 1 = 2.
Если n = 2, то а>2 = 2 х 2 = 4.
Если n = 3, то а>3 = 2 х 3 = 6.
В случае последовательности нечетных чисел мы имеем следующую формулу общего члена:
а>n = 2n + 1.
Эту формулу можно использовать для нахождения значения любого члена. Например, чтобы найти значение члена, занимающего двадцать седьмую позицию в последовательности, мы подставим n = 27 в формулу общего члена:
а>27 = 2 х 27 + 1 = 55.
Нахождение формулы общего члена эквивалентно нахождению закономерности в данной последовательности. Возникает вопрос: поскольку мы можем найти любой член последовательности по формуле общего члена, можем ли мы найти эту формулу, имея достаточное количество членов последовательности? Для многих последовательностей ответ на этот вопрос часто является довольно сложной задачей.
Например, предсказать следующий член в последовательности
не так уж легко. И действительно, формула общего члена в данном случае выглядит так:
Чтобы найти первые три члена, подставим соответствующие значения n:
На протяжении многих веков это являлось одной из главных задач математиков в изучении простых чисел, но попытки найти закономерности и правила всегда заканчивались неудачей и разочарованием. Может, этот хаотический набор чисел действительно регулируется случайностью? Но математики, по-видимому, умеют ценить неудачи: пусть их усилия не достигают цели; даже в этом случае, возможно, будут найдены новые пути, разработаны другие математические методы или открыты новые понятия. Часто кажется, что поставленная цель была лишь предлогом для работы над новой задачей. Поэтому простые числа были и продолжают оставаться одним из самых богатых источников парадоксов и гипотез.
