1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 2 = 122
1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 3 = 123
1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 4 = 124
1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 5 = 125
Для краткой записи произведения последовательных чисел используется восклицательный знак:
1 x 2 x 3 x 4 = 4!
1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5!
В математике такое выражение называется «факториал». Например, факториал числа 6 равен
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.
Выражения для четырех последовательных составных чисел удобнее записать следующим образом:
5! + 2
5! + 3
5! + 4
5! + 5
Таким образом можно составить любой ряд последовательных чисел, не содержащий простых чисел. Например, если мы хотим получить сто последовательных составных чисел, достаточно написать:
101! + 2,
101! + 3,
101! + 4,
и так далее до 101! + 101.
Это означает, что в ряду натуральных чисел существуют промежутки любой длины, в которых нет простых чисел. Таким же образом мы могли бы построить ряд из пяти триллионов последовательных чисел, в котором простое число не появится.
Получается, что простые числа встречаются все реже по мере продвижения по ряду натуральных чисел, и, следовательно, при приближении к бесконечности наступит момент, когда простые числа больше не появятся.
Конечно, этот вывод неверен, так как мы знаем, что по теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, и что каким бы длинным ни был ряд составных чисел, в конце концов появится простое число.
* * *
С ПОМОЩЬЮ КАЛЬКУЛЯТОРА
Хорошо бы использовать мощность компьютеров и написать программу, которая находила бы длинные ряды чисел, не содержащие простых чисел. В самом деле, алгоритм довольно прост, но нужно иметь в виду, что, работая с выражениями, содержащими факториалы, можно довольно быстро исчерпать память калькулятора. Факториалы будут расти с головокружительной быстротой. Это можно проверить на любом карманном калькуляторе, используя клавишу факториала (символ«!»). Посчитаем факториалы первых десяти чисел:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720; 7! = 5040; 8! = 40320; 9! = 362880; 10! =3628800.
Большинство калькуляторов не смогут посчитать факториалы чисел, которые больше 70.
* * *
Чувство ритма
Во время концерта иногда возникает момент, когда публика оживляется и начинает аплодировать в такт музыке. Однако через некоторое время синхронность между ритмом хлопков аудитории и ритмом игры музыкантов нарушается. В случае простых ритмов синхронность может сохраняться довольно долго, но для более сложных ритмов это практически невозможно. Воспользуемся этой аналогией в отношении попыток математиков навязать чувство ритма простым числам, например, «один, два, три… вперед!» Но это не работает: простые числа не встречаются через каждые три составных числа. Попробуем по-другому: «один, два, три, двадцать, сто… вперед!» И это не работает. Мы могли бы повторять подобные попытки до бесконечности. Даже сегодня мы не знаем, подчиняются простые числа некоему чертовски сложному ритму или у них совсем нет чувства ритма.
