Квантовая механика II | страница 8
Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним х>nи соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е>0=2А; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать
и энергия (11.13) превратится в
Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации
амплитуд С>n.
§ 3. Состояния, зависящие от времени
В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в х>n, равна С>n, то вероятность найти его там будет |С>n|>2. Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех х>nодна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, которое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями k и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при t=0, амплитуда С>nвследствие интерференции различных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн разной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число k>0, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к k>0.
В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными k будут представлять состояния со слегка различными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного С>nпоэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы видели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где |С(x>n)|>2наибольшие] с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта групповая скорость связана с зависимостью k от частоты формулой
все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для которого С>nменяется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного «кристалла» с быстротой v, рапной dw/dk, где w=E/h.
Фиг. 11.5. Вещественная часть С(х