Квантовая механика II | страница 7

=±p//b достигает ма­ксимума, как показано на фиг. 11.3. Для k, больших, чем p//b, энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим со­стояние наинизшей энергии, для которого k=0. Тогда при всех х_>nкоэффициент а (х_>n) будет один и тот же [см. (11.10)1. Та же самая энергия получилась бы и при k= 2p//b. Тогда из

(11.10) следовало бы

Но, считая, что начало координат приходится на х_>0, можно по­ложить х_>n= nb, и тогда а (х_>n) превратится в

т. е. состояние, описываемое этими а (х_>n), физически ничем не будет отличаться от состояний при k=0. Оно не представляет особого решения.

В качестве другого примера возьмем k=p/4b. Веществен­ная часть а (х_>n) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.

Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=p/4b, кривая 2 —для k=7p/4b.

Если бы k было в семь раз больше (k=7p//4b), то вещественная часть а (х_>n) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама коси­нусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках х_>n.

Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех х_>nдают одинаковые амплитуды.

Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные реше­ния нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -p/b до +p/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационар­ных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.

Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только пере­прыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме а_>п=e^>ikx, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом k имеют энер­гию E_>0-2Acos kb-2Bcos2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции k не универсальна, а зависит от тех частных до­пущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относи­тельно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (-p/b, p/b) повторяется, так что заботиться о других значениях