Физика сплошных сред | страница 53
По определению абсолютная величина k задается равенством k>2=n>2w>2/с>2, поэтому
А теперь обратимся к уравнению (33.38) для t=0. Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех значениях у, мы получаем
k">y=k'>y=k>y. (33.41)
Из формулы (33.40) k'>2=k>2, так что
k'>2>x+k'>2>y =k>2>x+k>2>y. Комбинируя это с (33.41), находим
k'>2>x=k>2>x , или k'>x=+k>x. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что
k'>x=-k>x. (33.42)
Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отражения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне
Для преломленной волны мы уже получали
Их можно решить и в результате получить
Предположим на мгновение, что n>1и n>2 — вещественные числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что
k>y/k =sinq>i, k>y/k"=sinq>t. (33.46)
Но ввиду уравнения (33.44) мы получаем
n>2sinq>t=n>isinq>i>;, (33.47)
т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться
(33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы q>i. и q>t из
(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами k>x или k">x..]
До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциальный множитель в (33.38) и получить
е>0+е'>0=е">0. (33.48)
Но поскольку мы не знаем ни Е'>0, ни Е">9, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Е>хи Е>yне помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):
B>x2 =B>x1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),
Вспоминая, что w" =w'= w и k">y=k'>y=k>y, получаем
е>0+е'>0 =е">0.
Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.
