Физика сплошных сред | страница 49

методу нахождения непосредственно из диффе­ренциальных уравнений того, что происходит на границе.

Начнем с выписывания всех уравнений Максвелла для ди­электрика, но на этот раз скрупулезно выписывая все компо­ненты:

Эти уравнения должны быть справедливы как в области 1 (слева от границы), так и в области 2 (справа от нее). Мы уже выписывали решения в областях 1 и 2. Они должны удовлет­воряться и на самой границе, которую мы можем назвать об­ластью 3. Хотя обычно мы считаем границу чем-то абсолютно резким, на самом деле таких границ не бывает. Физические свойства, правда, изменяются очень быстро, но все же не беско­нечно быстро. Во всяком случае, мы можем считать, что между областями 1 и 2 изменение показателя преломления хотя и очень быстрое, но непрерывное. Это небольшое расстояние, на котором оно происходит, мы можем назвать областью 3. Подобный же переход в области 3 будут претерпевать и другие характери­стики поля, такие, как Р_>хили Е_>yи т. п. Однако дифферен­циальные уравнения должны удовлетворяться; именно следуя за дифференциальными уравнениями в этой области, мы придем к необходимым «граничным условиям».

Предположим, например, что у нас есть граница между вакуумом (область 1) и стеклом (область 2). В вакууме нечему поляризоваться, так что P_>1=0. А поляризация в стекле пусть равна Р_>2. Между вакуумом и стеклом существует гладкий, но быстрый переход. Если мы проследим за какой-то компонентой Р, скажем Р_>х, то она может изменяться так, как это показано на фиг. 33.5, а.

Фиг. 33.5. Поля в переходной об­ласти 3 между двумя различными материалами в областях 1 и 2.

Предположим теперь, что мы взяли первое из наших уравнений — уравнение (33.21). В него входит производ­ная от компонент Р по переменным х, у и z. Производные по у и r не очень интересны — в этих направлениях не происходит ничего замечательного. Но производная от Р_>хпо х в области 3 из-за быстрого изменения Р_>хбудет громадна. Производная дР_>х/дх, как показано на фиг. 33.5,б, имеет на границе очень резкий пик. Если вы представите, что граница сжимается до еще более тонкой области, пик вырастет еще больше. Если для интересующих нас волн граница действительно резкая, то ве­личина дP/дx в области 3 будет больше, много больше любого вклада, который может получиться из-за изменения Рв сто­роне от границы, так что мы пренебрегаем любыми другими изменениями, за исключением происходящих на границе.

Но как теперь можно удов­летворить уравнению (33.21), если с правой стороны у нас возвышается огромный пик? Только если существует рав­ный ему громадный пик с другой стороны. Что-то и с левой стороны должно быть большим. Единственная воз­можность — это