Физика сплошных сред | страница 50
Если это уравнение проинтегрировать по х по всей области 3, то мы придем к заключению, что
e>0(Е>x>2-Е>x>1)=-(Р>x>2-Р>x>1). (33.25)
Другими словами, скачок e>0Е>хпри переходе от области 1 к области 2 должен быть равен скачку —Р>х.
Уравнение (33.25) можно переписать в виде
e>0E>x>2+Р>x>2=e>0E>x>1+Р>x>1; (33.26)
оно гласит, что величина (e>0E>x+Р>x) имеет равные значения как в области 2, так и в области 1. В таких случаях люди говорят, что величина (e>0Е>x+Р>х) непрерывна на границе. Таким образом, мы получили одно из наших граничных условий.
Хотя в качестве иллюстрации мы взяли случай, когда значение Р>1 равно нулю, ибо в области 1 у нас был вакуум, ясно, что те же аргументы приложимы для любого материала в этих двух областях, так что уравнение (33.26) верно в общем случае. Давайте перейдем к остальным уравнениям Максвелла и посмотрим, что скажет нам каждое из них. Следующим мы возьмем уравнение (33.22а). У него нет производной по х, так что оно ничего нам не говорит. (Вспомните, что на границе сами поля не особенно велики. Только их производные по х могут стать столь огромными, что будут доминировать в уравнении.) Взглянем теперь на уравнение (33.22.б). Смотрите! Именно здесь у нас есть производная по х! С левой стороны имеется дE>z/дx. Предположим, что эта производная громадна. Но минуточку терпения! С правой стороны нет ничего, способного потягаться с ней, поэтому Е>z не может иметь скачка при переходе из области 1 к области 2. [Если бы это было так, то с левой стороны уравнения (33.22а) мы бы получили скачок, а с правой — его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие:
E>я2=E>я1. (33.27)
После тех же самых рассуждений уравнение (33.22в) дает
E>y>2=E>y>1. (33.28)
Последний результат в точности совпадает с полученным с помощью контурного интеграла условием (33.20).
Перейдем к уравнению (33.23). Единственное, что может дать пик,— это дВ>х/дх. Но справа опять нет ничего, способного противостоять ему; в результате мы заключаем, что
B>x>2=B>x>1. (33.29)
И, наконец, последнее из уравнений Максвелла! Уравнение (33.24а) ничего не дает, ибо там нет производных по х. В уравнении (33.236) — одна производная: — с>2(дВ>z/дх), но ей снова нечего противопоставить с другой стороны равенства, поэтому мы получаем
