Физика сплошных сред | страница 17

описываются заданием компонент тензора поляризуемости a_>ij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (v_>x, v_>y , v_>z) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости a_>ij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (S) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна e_>0Е^>2/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qE_>xdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qE_>xNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dP_>x. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

E_>xdP_>x.

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­кой должна быть работа в единице объема:

E·dP.

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E·dP. Обозначая ее через и_>р, можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­зить Р через E. В результате получим

Плотность энергии и_>р — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с