Физика сплошных сред | страница 16

будет суммой двух Р_>х, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то состав­ляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ностью описываются девятью величинами (a_>xx,, a_>xy,,a_>xz,a_>yz , ...), которые можно записать в виде символа a_>ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электри­ческое поле Е можно разложить на составляющие Е_>x, Е_>yи Е_>z. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a_>ijи найти Р_>х, Р_>y и P_>z, которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов a_>ijназывается тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины (Е_>х, Е_>у, Е_>z) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин (a_>хх, a_>ху, ...)«образуют тензор a_>ij».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_>х>', Е_>у>', Е_>г>'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a_>ijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P_>x>' будет линейной комбинацией Р_>х, Р_>y>' , и Р_>z>':

Р_>x>’=аР_>х+bР_>у+сР_>z,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р_>х, Р_>yи Р_>z>подставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится

Теперь напишите, как выражается Е_>х, Е_>yи E_>zчерез Е_>x>' , Е_>y>'>и Е_>z>' , например,

E_>x = a'E_>x>'+b'E_>y>'+c'E_>z>' ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р_>х>'через компо­ненты Е_>х>', Е_>y>'и E_>z>' , т. е. получились новые a_>ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла