Физика сплошных сред | страница 18

Тензор a_>ijна самом деле нужно называть «тензором вто­рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии u_>p — тензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.

Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Матема­тики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это F_>m>v .

Тензор поляризуемости a_>ijобладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. a_>xy=a_>yx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества ре­ального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:

1) включите электрическое поле в направления оси х;

2) включите поле в направлении оси у;

3) выключите x-поле;

4) выключите y-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, a_>xy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для a_>xzи т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сна­чала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Е_>х, мы могли бы определить a_>хх, а с одной компонентой Е_>yможно определить a_>yy . Включив обе компоненты Е_>хи Е_>y, мы из-за присутствия члена (a_>ху+a_>ух) получим добавочную энергию, ну а поскольку a_>xy и a_>yx равны, то этот член превращается в 2a_>xy и мо­жет быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Е_>хи Е_>yотвечают данной плотности энергии, скажем u_>0. Возникает чисто математическая задача решения уравне­ния

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины