Излучение. Волны. Кванты | страница 34

Рассмотрим теперь более подробно волны вида (29.3) как функции времени в данном месте и как функции расстояния в данный момент времени. Как и раньше, будем отвлекаться от постоянных множителей и множителя 1/r.

§ 3. Синусоидальные волны.

Зафиксируем вначале r и рассмотрим поле как функцию времени. Получается функция, которая осциллирует с угловой частотой w. Угловую частоту со можно определить как скорость изменения фазы со временем (радианы в секунду). Эта величина нам уже знакома. Период есть время одного колебания, одного полного цикла; он равен 2p/w, так как произведение w и периода есть полный период косинуса.

Введем новую величину, которая очень часто используется в физике. Она возникает в другой ситуации, когда t фиксиро­вано и волна рассматривается как функция расстояния r. Легко увидеть, что как функция r волна (29.3) тоже осциллирует. Если отвлечься от множителя 1/r, то мы видим, что Е тоже осцилли­рует, когда мы меняем положение. Тогда по аналогии с w введем

так называемое волновое число и обозначим его через k. Оно опре­деляется как скорость изменения фазы с расстоянием (радианы на метр). Время при таком изменении остается фиксированным. Роль периода здесь играет другая величина, ее можно было бы назвать периодом в пространстве, однако ее обычное назва­ние — длина волны, а обозначается она буквой l. Длина волны есть расстояние, на котором колебание поля совершает один полный цикл. Легко видеть, что длина волны равна 2p/k,потому что k, умноженное на длину волны, равно полному периоду ко­синуса. Итак, соотношение kl=2p полностью аналогично

wt_>0=2p.

В нашем конкретном случае между частотой и длиной волны имеется определенная связь, однако приведенные выше опре­деления k и w носят совершенно общий характер и применимы также в тех физических условиях, когда никакого соотношения между этими величинами нет. Для рассматриваемой нами волны скорость изменения фазы с расстоянием найти легко. В самом деле, запишем выражение для фазы j=w(t-r/с) и возьмем частную производную по r

Это соотношение можно записать разными способами:

Почему длина волны оказывается равной периоду, умножен­ному на c? Очень просто. Дело в том, что за время, равное одному периоду, волны, двигаясь со скоростью с, пройдут расстояние ct_>0>, а, с другой стороны, это расстояние должно быть равно длине волны.

В других физических явлениях, когда приходится иметь дело не со светом, такого простого соотношения между