Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 97
Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно
где
то есть
и
где для симметрии пишем
Теперь мы можем определить k(ω) из (3.908), как прежде определили k(ω) из (3.74). Здесь мы принимаем
В результате
и
Таким образом, наилучшее определение функции m(t) с наименьшей среднеквадратической ошибкой есть
[c.150]
Сравнивая это с уравнением (3.89) и пользуясь рассуждениями, подобными тем, посредством которых было получено (3.88), заключаем, что оператор для m(t)+n(t), дающий «наилучшее» представление функции m(t+a), имеет при записи в частотной шкале следующий вид:
Этот оператор служит характеристическим оператором устройства, которое в электротехнике называют волновым фильтром. Величина а есть фазовое отставание фильтра. Она может быть положительной или отрицательной; если она отрицательна, то а называется фазовым опережением. Прибор, соответствующий формуле (3.913), может быть построен с какой угодно точностью. Подробности его конструкции нужны более для инженера-электрика, чем для читателя этой книги. Их можно найти в соответствующей литературе[147].
Среднеквадратическая ошибка фильтрации (3.902) может быть представлена как сумма среднеквадратической ошибки фильтрации для бесконечного фазового отставания
[c.151]
и другого члена
зависящего от фазового отставания. Мы видим, что среднеквадратическая ошибка фильтрации есть монотонно убывающая функция фазового отставания.
Другим интересным вопросом в случае сообщений и шумов, порождаемых броуновым движением, является скорость передачи информации. Рассмотрим для простоты случай, когда сообщение и шум независимы, т. е. когда
Рассмотрим в этом случае функции
где γ и σ распределены независимо. Пусть нам известна сумма m(t)+n(t) в интервале (—А, А). Сколько у нас тогда информации об m(t)? Заметим, что, по эвристическому суждению, это количество информации не должно слишком отличаться от количества информации о функции
которым мы располагаем, когда нам известны все значения выражения
где γ и σ имеют независимые распределения. Можно, однако, показать, что n-й коэффициент Фурье для выражения (3.918) имеет гауссово распределение, независимое от всех других коэффициентов Фурье, и что его
