Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 96

в sin λω и sin λω в —cos λω. Следовательно,

F(ω)+iG(ω)

есть функция вида

 

          (3.73)

и удовлетворяет требуемым условиям для log |k(ω)| в нижней полуплоскости.

Если теперь положить

 

,          (3.74)

то можно показать, что при весьма общих условиях функция K(s), определяемая формулой (3.68), будет обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом,

 

          (3.75)

[c.145]

С другой стороны, можно показать, что 1/k(ω) записывается в виде

 

,          (3.76)

где значения N_>n определены подходящим образом, и что при этом можно получить

 

          (3.77)

Здесь значения Q_>n должны удовлетворять формальному условию

 

          (3.78)

В общем случае будем иметь

 

,          (3.79)

а если ввести по образцу соотношения (3.68)

 

,          (3.80)

то

 

.          (3.81)

Следовательно,

 

.          (3.82)

Этот вывод мы используем для того, чтобы получить оператор предсказания в форме, связанной не со временем, а с частотой. [c.146]

Таким образом, прошлое и настоящее функции ξ(t, γ), или точнее «дифференциала» dξ(t, γ), определяют прошлое и настоящее функции f(t, γ), и обратно.

Если теперь А >0, то

 

          (3.83)

Здесь первый член последнего выражения зависит от области изменения dξ(τ, γ), в которой, зная лишь f(σ, γ) для σ≤t, сказать ничего нельзя, и совершенно не зависит от второго члена. Его среднеквадратическое значение равно

 

,          (3.84)

и эта формула дает все статистическое знание о нем. Можно показать, что первый член имеет гауссово распределение с этим среднеквадратическим значением. Последнее равно ошибке наилучшего возможного предсказания функции f(t+A, γ).

Само же наилучшее возможное предсказание выражается вторым членом в (3.83):

 

.          (3.85)

Если теперь положим

 

          (3.86)

[c.147]

и применим оператор (3.85) к e^>iωt, получив

 

,          (3.87)

то найдем, подобно (3.81), что

 

          (3.88)

Это и есть частотная форма наилучшего оператора предсказания.

Задача фильтрации в случае временных рядов типа (3.34) тесно связана с задачей предсказания. Пусть сумма сообщения и шума имеет вид

 

,          (3.89)

а сообщение имеет вид

 

,          (3.90)

где γ и δ распределены независимо в интервале (0, 1). Тогда предсказуемая часть функции m(t+a), очевидно, равна

 

,          (3.901)

а среднеквадратическая ошибка предсказания равна

 

.          (3.902)

Допустим, кроме того, что нам известны следующие величины:

 

[c.148]

 

 

 

 

 

 

          (3.903)

 

 

          (3.904)

 

 

 

 

          (3.905)

[c.149]

Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно