Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 93

 

          (3.43)

то мы знаем Ф(t) почти во всех случаях и располагаем полным статистическим знанием о временном ряде.

Некоторые величины, зависящие от временного ряда такого рода, обладают интересными свойствами. В частности, интересно знать среднее значение величины

 

          (3.44)

Формально мы можем записать его в виде

 

 

 

.          (3.45)

Весьма интересная задача — попытаться построить возможно более общий временной ряд из простых рядов броунова движения. При таких построениях, как подсказывает пример рядов Фурье, разложения типа (3.44) составляют удобные строительные блоки. В частности, исследуем временные ряды специального вида:

 

          (3.46)

[c.139]

Предположим, что нам известна функция ξ(τ, γ), а также выражение (3.46). Тогда при t_>1>t_>2 находим, как в (3.45),

 

          (3.47)

Умножив на

 

и положив s(t_>2—t_>1)=iσ, получим при t_>2→t_>1

 

          (3.48)

Примем K(t_>1, λ) за новую независимую переменную μ и, решая относительно λ, получим

 

          (3.49)

Тогда выражение (3.48) будет иметь вид

 

          (3.50)

Отсюда преобразованием Фурье можно найти

 

          (3.51)

как функцию от μ, коль скоро μ лежит между K(t_>1, a) и K(t_>1, b). Интегрируя эту функцию по μ, найдем

 

          (3.52)

[c.140]

как функцию от K(t_>1, λ) и t_>1. Иначе говоря, существует известная функция F (u, v), такая, что

 

          (3.53)

Поскольку левая часть этого равенства не зависит от t_>1, мы можем обозначить ее через G(λ) и положить

 

          (3.54)

Здесь F — известная функция, и ее можно обратить относительно первого аргумента, положив

 

,          (3.55)

где H — также известная функция. Отсюда

 

          (3.56)

Тогда выражение

 

          (3.57)

будет известной функцией и

 

          (3.58)

откуда

 

,          (3.59)

или

 

.          (3.60)

Входящую в это выражение константу можно определить из соотношения

 

,          (3.61)

или

 

.          (3.62)

Очевидно, что если а конечно, то безразлично, какое значение мы ему дадим; в самом деле, наш оператор не [c.141] изменится от прибавления одной и той же величины ко всем значениям λ. Поэтому можно взять а=0. Таким образом, мы определили λ как функцию от G и, следовательно, G — как функцию от λ. Из (3.55) следует, что мы тем самым определили K(t, λ). Для завершения расчетов нам нужно только найти b. Это число можно определить сравнением выражений

 

          (3.63)

и

 

.          (3.64)

Таким образом, если при некоторых условиях, которые еще остается точно сформулировать, временной ряд допускает запись в виде (3.46) и известна функция ξ(