Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 92

а если они одного знака и |s|<|t|, то

[c.135]

Отсюда

В частности,

Более того,

[c.136]

где сумма берется по всем разбиениям величин τ_>1, …, τ_>n на пары, а произведение — по парам в каждом разбиении. Выражение

изображает очень важный ансамбль временных рядов по переменной t, зависящих от некоторого параметра распределения γ. Доказанное нами равносильно утверждению, что все моменты и, следовательно, все статистические параметры этого распределения зависят от функции

представляющей собой известную в статистике автокорреляционную функцию со сдвигом τ. Таким образом, распределение функции f(t, γ) имеет те же статистики, что и функция f(t+t_>1, γ); и действительно, можно доказать, что если

то преобразование параметра γ в Г сохраняет меру. Другими словами, наш временной ряд f(t, γ) находится в статистическом равновесии.

Далее, если мы рассмотрим среднее значение для

то оно состоит в точности из членов выражения

[c.137]

и из конечного числа членов, имеющих множителями степени выражения

если последнее стремится к нулю при σ→∞, то (3.38) будет пределом выражения (3.37). Другими словами, распределения функций f(t, γ) и f(t+σ, γ) становятся асимптотически независимыми, когда σ→∞. Более общим, но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что одновременное распределение функций f(t_>1, γ), …, f(t_>n, γ) и функций f(σ+s_>1, γ), …, f(σ+s_>m, γ) стремится к совместному распределению первого и второго множества, когда σ→∞. Другими словами, если F[f (t, γ)] — любой ограниченный измеримый функционал, т. е. величина, зависящая от всего распределения значений функции f(t, γ) от t, то для него должно выполняться условие

Если F[f (t, γ)] инвариантен при сдвиге по t и принимает только значения 0 или 1, то

т. е. группа преобразований f(t, γ) в f(t+σ, γ) метрически транзитивна. Отсюда следует, что если F[f (t, γ)] — любой интегрируемый функционал от f как функции от t, то по эргодической теореме

[c.138]

для всех значений γ, исключая множество нулевой меры. Таким образом, мы почти всегда можем определить любой статистический параметр такого временного ряда (и даже любого счетного множества статистических параметров) из прошлой истории одного только параметра. В самом деле, если для такого временного ряда мы знаем