Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 91

(t,α), где х зависит от времени t и параметра распределения α и 2) вероятность данному пути находиться в данном множестве S будет равна мере множества значений α, соответствующих путях, находящимся в S. Поэтому почти все пути будут непрерывными и недифференцируемыми.

Весьма интересен вопрос об определении среднего значения произведения x(t_>1, α) … x(t_>n, α) относительно α. Это среднее равно

 

          (3.19)

при условии 0 ≤t_>1 ≤…≤ t_>n. Положим

 

          (3.20)

[c.132]

где λ_>k,1+λ_>k,2+…+λ_>k,n=n.Тогда выражение (3.19) примет значение

 

 

 

 

 

 

 

 

.          (3.21)

Здесь первая сумма берется по j; вторая — по всем способам разбиения n элементов на пары в группах, включающих соответственно λ_>k,1, …, λ_>k,n элементов; произведение — по парам значений k и q, где λ_>k,1 элементов среди выбранных t_>k и t_>q равны t_>1, λ_>k,2 элементов равны t_>2 и т. д. Отсюда сразу же следует

 

          (3.22)

[c.133]

где сумма берется по всем разбиениям величин t_>1, …, t_>nна различные пары, произведение — по всем парам в каждом разбиении. Другими словами, если нам известны средние значения попарных произведений величин x(t_>j, α), то нам известны и средние значения всех многочленов от этих величин и, следовательно, их полное статистическое распределение.

До сих пор мы рассматривали броуновы перемещения x (t_>j,α), в которых t положительно. Положив

 

,          (3.23)

где α и β имеют независимые равномерные распределения в интервале (0, 1), получим распределение для ξ(t, α, β), где t пробегает всю бесконечную действительную ось. Существует хорошо известный математический прием отобразить квадрат на прямолинейный отрезок таким образом, что площадь преобразуется в длину. Надо лишь записать координаты квадрата в десятичной форме

 

 

          (3.24)

и положить

 

,

и мы получим искомое отображение, являющееся взаимно однозначным почти для всех точек как прямолинейного отрезка, так и квадрата. Используя эту подстановку, введем

 

.          (3.25)

Теперь мы хотим определить в некотором подходящем смысле

 

          (3.26)

Сразу приходит мысль определить указанное выражение как интеграл Стильтьеса[143], но это встречает [c.134] препятствие в том, что ξ представляет собой весьма нерегулярную функцию от t. Однако если К приближается достаточно быстро к нулю при t→± ∞ и является достаточно гладкой функцией, то разумно положить

 

          (3.27)

При этих условиях мы формально получим

 

          (3.28)

Если теперь t и s имеют противоположные знаки, то

 

          (3.29)