Лекции по физике 1 | страница 77

Если же, однако, не требовать, чтобы Dбыло в точности равно, скажем, нулю, или единице, или двум, а вместо этого говорить о вероятности получения Dгде-то вблизи нуля, или единицы, или двух, то при этом мы можем нарисовать график, подобный приведенному на фиг. 6.2. Назовем Р (х,Dx) вероятностью того, что Dбудет находиться где-то внутри интервала Dx в окрестности величины х (скажем, где-то между х и х+Dx). Если Ax достаточно мало, то вероятность того, что Dпопадет в этот интервал, должна быть пропорциональна его ширине, т. е. Ax. Поэтому мы можем утверждать, что

Р (х, Dx)=р(х)Dx;. (6.17)

Функция р(х) называется плотностью вероятности.

Вид кривой р(х) зависит как от числа шагов N, так и от рас­пределения шагов по длинам (т. е. от того, какую долю состав­ляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь зани­маться доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность p(х) одинакова для всех разум­ных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого N. На фиг. 6.7 показаны три графика р(х) для различных N.

Фиг. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайномблуждании через N шагов на расстоянии D.

Dизмеряется в единицах средней квадратичной длины шага.

Заметьте, что «полуширины» этих кривых, как это и должно быть по нашим предыдущим расчетам, приблизительно равны Цn.

Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи нуля обратно пропорциональна ЦN. Это происходит потому, что все кривые по форме очень похожи, только одни «размазаны» больше, а другие — меньше, и, кроме того, площади, ограни­ченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действительно, ведь р(х) Dx; это вероятность того, что Dнаходится где-то внутри интервала Dx; (Ax мало). Как определить вероятность того, что Dнаходится где-то между x_>1 и x_>2? Для этого разобьем интервал между х_>1и х_>2на узкие полоски шириной Ax; (фиг. 6.8) и вычислим сумму членов р (х) Dx; для каждой такой полоски.

Фиг. 6.8. Вероятность [заштри­хованная область под кривой р(х)] того, что при случайном блуждании пройденное расстояние Dокажется между х_>1 и х_>2.

Геометрически эта вероятность [запишем ее в виде Р (x_>1< D>2)] равна площади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем уже будут наши полоски, тем точнее результат. Поэтому можно записать

Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероят­ности того, что Dпринимает какое-то значение между -Ґ и +Ґ. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.